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PROBABILIDAD por Mind Map: PROBABILIDAD

1. Concepto

1.1. Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

1.1.1. Es una Medida

1.1.2. Asociada a un suceso o evento futuro

1.1.3. Se expresa: entre 0% y 100%

1.1.4. Constituye una rama de las matemáticas

1.1.5. Está basada en el estudio de la combinatoria

1.1.6. Es fundamento necesario de la estadística

1.2. .

2. AXIOMAS Y TEORIAS

2.1. AXIOMAS

2.1.1. AXIOMA 1

2.1.1.1. La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 <= p(A) >= 1 Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5

2.1.2. AXIOMA 2

2.1.2.1. La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1. p(&) = 1 Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".

2.1.3. AXIOMA 3

2.1.3.1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la, p(AUB) = p(A) + p(B) Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos. Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

2.2. TEOREMAS

2.2.1. TEOREMA 1

2.2.1.1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero. p(f)=0  Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón". Si sumamos a ° un evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A).

2.2.2. TEOREMA 2

2.2.2.1. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A). Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A)

2.2.3. TEOREMA 3

2.2.3.1. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B). Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B).

2.2.4. TEOREMA 4

2.2.4.1. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB) Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).

2.2.5. TEOREMA 5

2.2.5.1. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB). Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB)

3. Historia

3.1. Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados. En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados. Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las que jugaban. Uno de estos juegos, denominado "hazard", palabra que en inglés y francés significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe "al-azar", que significa "dado". Posteriormente, en el "Purgatorio" de Dante el término aparece ya como "azar".

3.2. La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII. Matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, aportaron importantes contribuciones a su desarrollo

3.2.1. Blaise Pascal 1623-1662

3.2.2. Pierre de Fermat 1601-1665

3.2.3. Pierre Simon de La Place 1749-1827

3.3. video

4. USOS

4.1. Aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo,como los automóviles y la electrónica de consumo,utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto

4.2. Medicina Valor predictivo positivo: Es la probabilidad de padecer la enfermedad si se obtiene un resultado positivo en el test. Valor predictivo negativo: Es la probabilidad de que un sujeto con un resultado negativo en la prueba esté realmente sano.

4.3. La bioestadística la cual nos ayuda a intervenir en las necesidades médicas, biológicas o científicas que necesitemos suplir. Los estudios estadísticos en la biología nos pueden ayudar a resolver los enigma siempre vistos que la naturaleza nos enseña repentinamente.

4.4. La preservación de los recursos naturales. La probabilidad no simplemente actúa como agente informativo de que es lo que le hacemos a nuestro planeta con nuestras acciones, sino que también nos muestra el deterioro que el planeta ha sufrido las últimas décadas.

4.5. La mecánicacuántica, debidoal principiode indeterminaciónde Heisenberg, sólo puede serdescritaactualmente atravésde distribucionesde probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas.

5. EVENTOS

5.1. COMO SE CALCULA LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO

5.1.1. Primero se define el evento y todos los posibles casos, luego se cuentan los casos favorables; es decir, los casos que interesa que sucedan. La probabilidad de dicho evento “P(E)” es igual al número de casos favorables (CF), dividido entre todos los casos posibles (CP). Es decir: P(E) = CF / CP Por ejemplo, se tiene una moneda tal que los lados de la moneda son cara y sello. El evento es lanzar la moneda y que el resultado sea cara. Como la moneda tiene dos resultados posibles pero solo uno de ellos es favorable, entonces la probabilidad de que al lanzar la moneda el resultado sea cara es igual a 1/2.

5.2. PROBABILIDAD CLASICA

5.2.1. La probabilidad clásica es aquella en la que todos los casos posibles de un evento tienen la misma probabilidad de ocurrir. Según la definición anterior, el evento del lanzamiento de una moneda es un ejemplo de probabilidad clásica, puesto que la probabilidad de que el resultado sea cara o sea sello es igual a 1/2.

5.2.1.1. EJEMPLOS

5.2.1.1.1. En una caja hay una pelota azul, una verde, una roja, una amarilla y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar con los ojos cerrados una pelota de la caja, esta sea amarilla? Solución El evento “E” es sacar una pelota de la caja con los ojos cerrados (si se hace con los ojos abiertos la probabilidad es 1) y que esta sea amarilla. Solo hay un caso favorable, dado que solo hay una pelota amarilla. Los casos posibles son 5, puesto que hay 5 pelotas en la caja. Por lo tanto, la probabilidad del evento “E” es igual a P(E) = 1 / 5. Como se puede observar, si el evento es sacar una pelota azul, verde, roja o negra, la probabilidad también será igual a 1/5. Por lo tanto, este es un ejemplo de probabilidad clásica. Observación Si en la caja hubiese habido 2 pelotas amarillas entonces P(E) = 2/6 = 1/3, mientras que la probabilidad de sacar una pelota azul, verde, roja o negra hubiese sido igual a 1/6. Como no todos los eventos tienen la misma probabilidad, entonces este no es un ejemplo de probabilidad clásica.

5.2.1.1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado obtenido sea igual a 5? Solución Un dado posee 6 caras, cada una con un número diferente (1,2,3,4,5,6). Por lo tanto, hay 6 casos posibles y solo un caso es favorable. Entonces, la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga 5 es igual a 1/6. Nuevamente, la probabilidad de obtener cualquier otro resultado del dado también es igual a 1/6.