LÍMITES Y DERIVADAS E INTEGRALES

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LÍMITES Y DERIVADAS E INTEGRALES por Mind Map: LÍMITES Y DERIVADAS E INTEGRALES

1. LÍMITES

1.1. ¿Qué es?

1.1.1. Un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los terminos de una secuencia infinita de magnitudes.

1.2. ¿Para que sirven?

1.2.1. Sirven para expresar el comportamiento de una función cuando un valor de x se aproxima a un valor c.

1.3. Porpiedades de los limites

1.3.1. Multiplo escalar

1.3.2. Suma o diferencia

1.3.3. Producto

1.3.4. Cociente

1.3.5. Potencia

1.4. Tipos de límites

1.4.1. Limites trigonométricos

1.4.2. Límites racionales

1.4.3. Limites polinómicos

1.4.4. Límites exponenciales

1.4.5. Límites que contienen radicales

1.5. Tipos de indeterminación

1.5.1. Infinito/ infinito

1.5.2. Infinito - Infinito

1.5.3. cero/cero

1.5.4. cero x infinito

1.5.5. Uno elevado a Infinito

2. CONTINUIDAD

2.1. ¿Cuando una función es continúa?

2.1.1. Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las siguientes condiciones

2.1.1.1. Existe límite de f(x) cuando x tiende a c.

2.1.1.2. La función existe en c.

2.1.1.3. El valor de la función en el punto c y el límite en ficho punto son iguales.

2.2. Tipos de discontinuidades

2.2.1. Evitable

2.2.1.1. No existe imagen

2.2.1.2. La imagen no coincide con el límite

2.2.2. No evitable

2.2.2.1. De salto infinito

2.2.2.2. De salto finito

2.2.3. Esencial o de segunda especie

2.2.3.1. No existe alguno de los límites laterales en x =a

3. DERIVADAS

3.1. ¿Qué es?

3.1.1. La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

3.2. ¿Para qué sirven?

3.2.1. La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos.

3.3. ¿Cómo se calcula?

3.3.1. La derivada deuna función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

3.4. ¿Cúando una función es derivable?

3.4.1. Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

3.4.2. Si una función es derivable en un punto x = c, entonces es continua para x = c.

3.5. Tabla de derivadas según el tipo de función

3.5.1. Derivadas inmediatas

3.5.2. Derivadas exponenciales y logaritmicas

3.5.3. Derivadas trigonométricas

3.5.4. Derivadas trigonométricas inversas

3.5.5. Derivada de la función poencial-exponencial

3.6. Derivación implícita

3.6.1. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar Y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente las siguientes aceveraciones:

3.6.1.1. X'=1

3.6.1.2. Y'≠1

4. INTEGRALES

4.1. ¿Qué es una integral?

4.1.1. Basicamente, Una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

4.2. Objetivos del estudio del Cálculo Integral

4.2.1. Áreas bajo una región plana

4.2.2. Integrales indefinidas

4.2.3. Integrales definidas

4.2.4. Integrales dobles (dobles o triples)

4.2.5. Volumen de un sólido en revolución

4.3. ¿Cual es el Teorema fundamental del Cálculo?

4.3.1. Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.

4.4. ¿Cuándo una función es integrable?

4.4.1. Según continuidad

4.4.1.1. • Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable en ese intervalo. • Si una función es continua en un intervalo cerrado salvo en un número finito de puntos de discontinuidad y es acotada en ese intervalo, entonces es integrable en él.

4.4.2. Según monotonía

4.4.2.1. • Toda función monótona en un intervalo cerrado es integrable en ese intervalo. • Si una función es acotada en un intervalo que pueda descomponerse en un número finito de subintervalos en los que la función sea monótona, entonces la función es integrable en ese intervalo.