Matemáticas Discretas
por Isaias Avila Rosales
1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma lógica ( + ) y un producto lógico ( ● ), una operación unitaria que llamaremos complemento ( ∼ ), se dice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:
1.1. A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; la suma de a + b es igual que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a. ∇ a, b ∈ A, a + b = b + a y a • b = b • a
1.2. A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y ( ● ) son, respectivamente, el elemento cero (0) y el elemento (1). ∇ a ∈ A, a + 0 = a y a • 1 = a
1.3. A3. Distributiva: ∇ a, b, c ∈ A, a + (b • c) = (a + b) • (a + c) y a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
1.4. A4. Complementario: ∇ a ∈ A, a + ∼a = 1 y a • ∼a = 0
2. Funcioes de Boole
2.1. Estas técnicas permiten simplificar las funciones booleanas y, de esta forma, conducen luego a circuitos digitales más sencillos y, por tanto, a circuitos lógicos que ocupan menos espacio (es decir, permiten la construcción de computadoras de menor tamaño).
3. Puertas logicas
3.1. Not
3.1.1. ~A
3.1.1.1. Complemento
3.2. And
3.2.1. A*B
3.2.1.1. Producto
3.3. Or
3.3.1. A+B
3.3.1.1. Suma
3.4. XOR
3.4.1. A+~B+~A*B
3.4.1.1. Suma Exclusiva
3.5. NAND
3.5.1. ~(A*B)
3.5.1.1. Complemento del producto
3.6. NOR
3.6.1. ~(A+B)
3.6.1.1. Complemento de la suma
4. Conpuertas logicas basicas.
4.1. Compuerta O (OR)
4.2. La compuerta O equivale a un circuito en paralelo, pues da como salida un impulso cuando cualquiera de sus entradas es un impulso. El impulso utilizado normalmente para representar una compuerta O con dos entradas es el que figura a continuación.
4.3. Inversor (Complemento)
4.4. El inversor da como salida el estado opuesto al de entrada. Si la entrada es un impulso, la salida es un impulso invertido y viceversa. Simbólicamente, decimos que a la entrada A corresponde la salida ~A. ~A representa A invertido, es decir, el complemento de A. El símbolo es el que aparece a continuación.
4.5. Compuerta Y (AND)
4.6. La compuerta Y equivale a un circuito en serie. Produce como salida un impulso (1), si hay impulso en todas sus entradas. El símbolo que sigue es el que se usa corrientemente para representar una compuerta Y con dos entradas.
5. Discucion de los circuitos
5.1. Circuito en serie :Este es el que necesitan estar todos los interruptores cerrados para que pase corriente.
5.2. Circuito en paralelo:Este es el que por lo menos con un interruptor cerrado es mas que suficiente para el paso de corriente.
6. 0 significa interruptor abierto o “no circula corriente”. 1 significa interruptor cerrado o “circula la corriente”. ● representa la operación lógica “Y”. Por ejemplo, A ● B se lee “A Y B”. Usando el signo “+” para representar la operación lógica “O”, A + B se lee “A O B”,
7. Comentarios importantes
7.1. Estas compuertas lógicas se pueden tomar también como tablas ya sea del or o + y del and o *.
7.1.1. or o +
7.1.1.1. 0 + 0=0
7.1.1.2. 0+1=1
7.1.1.3. 1+0=1
7.1.1.4. 1+1=1
7.1.2. and o *
7.1.2.1. 0*0=0
7.1.2.2. 0*1=0
7.1.2.3. 1*0=0
7.1.2.4. 1*1=1