Aplicación de derivadas

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Aplicación de derivadas por Mind Map: Aplicación de derivadas

1. Lo más importante es conseguir valores -Máximos -Mínimos

1.1. Los máximos o mínimos absolutos son llamados extremos absolutos

1.2. En una función los mínimos absolutos suelen alcanzarse más de una vez, al igual que un valor máximo

1.3. Máximo

1.3.1. f (c) es el valor máximo absoluto de f en I si f (c)  f (x) para todo x en I.

1.4. Mínimo

1.4.1. f(c) es el valor mínimo absoluto de f en I si f (c)  f (x) para todo x en I.

2. Existen funciones que no alcanzan ninguno de los dos extremos o, en su defecto alcanzan el extremo máximo sin el mínimo, pero también ALGUNAS alcanzan ambos.

3. Teorema.- Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a, b].

3.1. Este teorema sirve de garantía para que ambos extremos existan.

4. Extremos relativos

4.1. Importancia: localizar extremos absolutos en una función

5. Extremos absolutos e intervalos cerrados

5.1. Para conseguir extremos absolutos en intervalos cerrados recordamos que hay garantía de que ambos extremos se alcancen o en su defecto en los extremos del intervalo.

5.1.1. Estrategia para encontrar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]

5.1.1.1. Paso 1.- Los valores críticos de f en [a, b].

5.1.1.2. Paso 2.- Evaluar f en los valores críticos y en los extremos del intervalo: a y b.

5.1.1.3. Paso 3.- El valor evaluado más grande es el máximo y el menor el mínimo.

6. Monotonía

6.1. Sirve para determinar si la función crece o decrece

6.1.1.  Una función f se dice estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera 1 2 x, x en I, donde 1 2 x entonces x entonces () () 1 2 fx  fx.

6.1.2. Una función f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera 1 2 x , x en I, donde 1 2 x  x entonces ( ) ( ) 1 2 f x  f x .

7. Concavidad

7.1. Primera derivada: da información del comportamiento de las gráficas de funciones, es decir, cuando hay crecimientos y decrecimiento en la curva

7.2. Segunda derivada: ella dirá cuando la gráfica se curva hacia abajo y cuando hacia arriba

7.2.1. Concavidad hacia abajo: las pendientes de las tangentes son decrecientes

7.2.2. Concavidad hacia arriba: las pendientes de las tangente son crecientes

7.2.2.1. Diremos que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo I, si la función lo es en ese intervalo.

7.3. Intervalos de concavidad

7.3.1. Paso 1: determinar los x donde f (x)  0 o f (x) no está definida (incluye los puntos donde la propia función no está definida).

7.3.2. Paso 2: Colocar en la recta real los x donde 0 f (x)  o ) f (x no está definida.

7.3.3. Paso 3: dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba que evaluamos en la segunda derivada.

7.3.3.1. Si la segunda derivada es positiva en el valor de prueba entonces la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

7.3.3.2. Si la segunda derivada es negativa en el valor de prueba, entonces la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

8. Primera derivada

8.1. Si cambia de positiva a negativa al pasar por c entonces f alcanza un máximo relativo en x=c

8.2. Si cambia de negativa a positiva al pasar por c entonces f alcanza un mínimo relativo en x=c

8.3. Si el signo no cambia al pasar por c entonces: f NO TIENE EXTREMOS en c.