1. División de polinomios
1.1. División sintética o regla de Ruffini
1.1.1. Para realizar una división sintética deben cumplirse las siguientes condiciones: 1) Tanto dividendo como divisor deben tener la misma letra. 2) El polinomio divisor debe ser de primer grado. 3) Los términos del polinomio dividendo deben estar agrupados de mayor a menor según su exponente. 4) El polinomio dividendo debe estar completo según sea el exponente mayor. 5) Si el polinomio dividendo no está completo debe completarse con ceros.
1.1.2. 4x+3=0. 4x³-5x²+10x+6 ——–—–———– 4x+3 X=-¾ | 4 -5 10 | 6 -¾| -3 6 | -12 ———————— 4 -8 16| -6 4x²-8x+16 —————— 4 Cociente: 2x²-2x+4 Residuo: -6
1.2. División normal
1.2.1. Ordenamos tanto el dividendo como el divisor de mayor a menor según sus grados, y completamos el grado que falte.
1.2.2. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
1.2.3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
1.2.4. El polinomio, que es el dividendo, lo colocamos a la izquierda, y el divisor lo ponemos enmarcado a la derecha.
1.2.5. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
1.2.6. Este resultado lo ponemos debajo de la caja y lo multiplicamos por cada término del polinomio divisor y el resultado lo vamos restando en el polinomio dividendo.
1.2.7. x²-2x+4 4x+3|————— |4x³-5x²+10x+6 -4x³-3x² (-){—————————— -8x²+10x +8x²+6x ———————— +16x+6 -16x-12 ——————— +6
2. Factorización
2.1. Factor común y por agrupación
2.1.1. De la forma
2.1.1.1. •a(b±c)=ab±ac •a(x+d)-b(x+d) (x+d)(a-b)
2.2. Diferencia de cuadrados y diferencia de cubos
2.2.1. ax²-b²
2.2.1.1. ax²-bx=0 Forma: (x+a)(x-a)
2.2.1.1.1. Ejemplo
2.2.2. ax³-b³
2.3. Trinomios
2.3.1. De la forma
2.3.1.1. ax²+bx+c O ax²ⁿ+bxⁿ+c
2.3.1.1.1. Trinomio con término semejante
2.3.1.1.2. Trinomio cuadrado perfecto
2.3.1.1.3. Trinomio con término común
2.4. Operación necesaria para reescribir una expresión algebraica como un producto de dos factores simples
3. Productos notables
3.1. Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
3.2. Factor comun
3.2.1. El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: c (a + b) = c a + c b \,
3.2.1.1. Ejemplo: 3x (4x + 6y) = 12x² + 18xy
3.3. Binomio al cuadrado
3.3.1. Para elevar un binomio al cuadrado, se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.
3.3.1.1. (a + b)² = a² + 2 a b + b² \, Un trinomio de la expresión siguiente: a² + 2 a b + b² ; se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: (a - b)²= a² - 2 a b + b² En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
3.3.1.1.1. Ejemplo: (2x - 3y)² = (2x)² + 2(2x)(-3y) + (-3y)²
3.4. Producto de dos binomios con un termino comun
3.4.1. Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
3.4.1.1. (x+a)(x+b)= x²+(a+b)x+ab
3.5. Binomios conjugados
3.5.1. Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos , con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
3.5.1.1. (a + b)(a - b) = a² - b²
3.6. Binomio al cubo
3.6.1. Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente: *El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. *El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. *El cubo del segundo término. Si la operación del binomio implica resta, el resultado es: *El cubo del primer término. *Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. *Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. *Menos el cubo del segundo término
3.6.1.1. (a+b)³= a³+3a² b+3ab² +b³ (a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³