Calculo integral

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Calculo integral por Mind Map: Calculo integral

1. ANTECEDENTES

1.1. Johannes Kepler 1530-1630

1.2. Rene Descartes 1596-1650

1.3. Blaise Pascal 1623-1662

1.4. Issac Newton 1642-1727

1.5. Leibniz 1646-1717

1.6. Maria Gaetana Agnesi 1718-1799

1.7. L. Hopital 1661-1704

1.8. Carl Friedrich Gauss 1777-1855

2. ELEMENTOS

3. Metodos

3.1. Integración por cambio de variable

3.1.1. Se ha usado la regla de la cadena.

3.1.1.1. Se hace un cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt

3.1.1.1.1. Ejemplo

3.1.1.2. identificar en el integrando a una función u y a u'(su derivada).

3.2. Integración por partes

3.2.1. Puede expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

3.2.1.1. Sean u y v dos funciones continuas, derivables

3.2.1.2. sus derivadas du y dv son integrables

3.2.1.2.1. u = f (x), v = g (x), luego du = f '(x) dx, dv = g' (x) dx:

3.3. Integración de funciones racionales

3.3.1. cociente de polinomios

3.3.1.1. a) Si el grado de P (x) es mayor o igual que el grado de P (x).

3.3.1.2. b) Si el grado de P (x) es menor que el grado de Q (x). (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n

3.3.1.2.1. b.1) Q (x) tiene todas sus raíces reales y distintas:

3.3.1.2.2. b.2) Q (x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas: Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)mn

3.3.1.2.3. b.3) Q (x) tiene raíces complejas distintas: ax2 + bx + c con b2 - 4ac <0

3.3.1.2.4. b.4) Q (x) tiene raíces complejas repetidas: (ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0

3.3.1.3. 1) Potencias de senos y cosenos.

3.3.1.3.1. Si n es impar, es decir, n = 2k + 1, factorizamos el integrando, por ejemplo: sennx dx = sen2k + 1x dx = (sen2x) k senx dx

3.3.1.3.2. Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo: sennx = sen2kx = (sen2x) k cosnx = cos2kx = (cos2x) k

3.3.1.4. 2) Productos de potencias de senos y cosenos.

3.3.1.4.1. Si my son son, utilizaremos las identidades:

3.3.1.4.2. Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad:

3.3.1.5. 3) Productos de potencias de tangentes y secantes.

3.3.1.5.1. Si n es par, utilizamos la identidad:

3.3.1.5.2. Si m impar, utilizamos la identidad:

3.4. Integraciones trigonométricas

3.4.1. nos permite integrar con un cierto tipo de funciones algebraicas

3.4.1.1. 1) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

3.4.1.1.1. Tomamos el cambio de variable: x = a sen θ, con a> 0; θ = arcsenx

3.4.1.2. 2) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

3.4.1.2.1. Tomamos el cambio de variable siguiente: x = a tan θ, con a> 0 θ = arctanx

3.4.1.3. 3) Si en el integrando aparece un radical de la forma:

3.4.1.3.1. Tomamos el cambio de variable siguiente: x = a sec θ, con a> 0 θ = arcsec (x / a) si x> a θ = 2p-arcsec (x / a) si x <-a

3.5. Integración de funciones irracionales

3.5.1. Reduzca la integral de una función racional mediante el cambio x = tk, donde "k" es el mínimo común de los denominadores (n, ..., s).

3.5.1.1. Donde R es una función racional.

3.5.2. Reduzca la integral de una función racional mediante el cambio, donde "μ" es el mínimo común de los denominadores (n, q, ..., v).

3.5.2.1. Donde R es una función racional.

3.5.3. Donde R es una función racional.

3.5.3.1. c.1) Si a> 0, el cambio a realizar es

3.5.3.2. c.2) Si c> 0, el cambio a realizar es

3.5.3.3. c.3) Si a <0 yc <0, el cambio a realizar es

4. AREAS DE APLICACION

4.1. Área del recinto limitado por la gráfica de una función.

4.1.1. Sea f (x) continua yf (x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:

4.1.2. Sea f (x) continua yf (x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:

4.1.3. Sea f (x) continua yf (x) toma valores positivos y negativos en subintervalos de [a, b]:

4.2. Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.

4.2.1. Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y cuentos que f1 (x) ≤ f2 (x) para todo x en [a, b], entonces el área de la región R = {(x, y) Î2, a ≤ x ≤ por f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)}, es:

4.2.2. Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus gráficas se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de la región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es:

4.2.3. Como caso particular, si f: [a, b] en una función integrable en [a, b] que no se mantiene constante en dicho intervalo, entonces el área de la región limitada por la gráfica de, el eje de las abscisas, y las rectas verticales x = a, yx = b es:

4.3. Volúmenes de revolución:

4.3.1. La función real continua en [a, b], el recinto limitado por las rectas x = a, x = b, el eje X y la gráfica de f ( x) viene dado por:

4.4. Longitud del arco de una curva:

4.4.1. Una función real continua en [a, b], tal como se deriva también es continua en [a, b]; Entonces, la longitud de la gráfica de f entre x = ayx = b es:

4.5. Área lateral de revolución:

4.5.1. Una función real continua en [a, b], tal como se deriva también es continua en [a, b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f (x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x = ayx = b, es:

5. FUNDAMENTOS MATEMATICOS

6. APLICACIONES