Lógica Matemática.

Logica Matemática, universitaria agustiniana.

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Lógica Matemática. por Mind Map: Lógica Matemática.

1. La lógica proposicional, también conocida como lógica de orden cero es un sistema formal y tiene mucho que ver con los conectores lógicos, existen signos para variables proposicionales, esto quiere decir que tienen un valor de verdad definido.

2. kant en el siglo XVIII pensaba que Aristóteles había llevado la lógica formal a su perfección, por lo que básicamente hasta entonces no había habido prácticamente modificaciones de importancia.

2.1. A partir de mediados del Siglo XIX la lógica formal comenzó a ser estudiada en el campo de las matemáticas y posteriormente por las ciencias computacionales, naciendo así la Lógica simbólica.

2.1.1. La lógica simbólica trata de esquematizar los pensamientos de forma clara y sin ambigüedades. Para ello usa un lenguaje formalizado constituido como cálculo.

2.1.1.1. Órganon es un conjunto de obras de lógica escritas por Aristóteles y compiladas por Andrónico de Rodas siglos más tarde.

3. Estas obras, compuestas por Aristóteles a lo largo de un amplio periodo de tiempo, constituyen el nacimiento de la lógica aristotélica como disciplina académica, capaz de analizar argumentos y determinar su validez mediante las reglas formales del silogismo.

3.1. -De las categorias -Sobre la interpretacion -promeros analiticos -segundos analiticos -refutacions sofisticas.

4. En el siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, consistía principalmente en que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptáramos como válido. Esta era la forma de entender la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).

4.1. La posición de Giuseppe Peano (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de una demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente comprobable".

4.1.1. Peano desarroló un cuerpo de signos que sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos.

4.1.1.1. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.

4.1.1.1.1. La obra crítica de Peano se extiende desde la Lógica hasta la Aritmética y la Geometría.

4.1.1.2. Sería algo asi como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los objetos x.

4.1.1.2.1. Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase.

5. Conectivos lógicos

5.1. La lógica de clases indica la pertenencia o no pertenencia de un elemento dentro de un conjunto.

5.2. Conjunción: Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción de p y q, que se escribe p Ʌ q, y se lee p y q es verdadera cuando p y p son verdaderas simultáneamente y falsa en cualquier otro caso.

5.2.1. EJEMPLOS

5.2.1.1. p = ” El numero 4 es par” q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″ entonces… p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″ p = ” El numero mas grande es el 34” q = ”El triangulo tiene 3 lados″ entonces… p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”

5.3. Disyunción: Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de p y q que se escribe p V q, y se lee p o q es verdadera cuando al menos p o p son verdaderas y falsa en caso de que ambas los sean.

5.3.1. La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

5.3.1.1. EJEMPLOS

5.3.1.1.1. p = ” El numero 2 es par” q = ” la suma de 2 + 2 es 4″ entonces… pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″ --- p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2” q = ” El numero 3 es par″ entonces… pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”

5.4. Implicación: Dadas dos proposiciones p y q, la implicación de p y q, que se escribe p → q, y se lee si p entonces q, solo es falsa cuando p (el antecedente) es verdadero y q (el consecuente) es falso.

5.4.1. EJEMPLOS

5.4.1.1. Si estudias entonces irás al paseo. Si x+3=5, entonces x=2.

5.4.2. DOBLE IMPLICACION

5.4.2.1. La doble implicación o bicondicional es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad diferente.

5.4.2.1.1. GRAMATICA

5.5. Equivalencia: Dadas dos proposiciones p y q, la equivalencia de p y q, que se escribe p ←→ q, y se lee p equivale q, es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad.

5.5.1. EJEMPLOS

5.5.1.1. La proposición p <=> q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambar proposiciones son falsas.

6. una lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que se codifican y se convierten en nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

6.1. Esta ciencia estudia los métodos y las condiciones para el razonamiento exacto y llegar a conclusiones verdaderas, en la Lógica se desglosan ramas bastantes , entre ellas; LA LÓGICA FORMAL, Y LA LÓGICA APLICADA.

6.1.1. LA LÓGICA FORMAL: Estudia las condiciones para que un pensamiento sea correcto y se basa en conceptos, juicios, razonamientos(lógica aristotélica).

6.1.1.1. LÓGICA APLICADA: que es en la cual un proceso de raciocinio o de pensamiento se analiza en consideración al contenido real de sus premisas y que por lo tanto debe llevar a una conclusión que sea concordante con la realidad.

6.1.1.2. La palabra lógica viene del griego "λογική - λογικός" a su vez of logos: razón. Ciencia que enseña una raciocinar con exactitud. Esta ciencia fue desarrollada por el filósofo Aristóteles quien formuló sus principios

6.1.1.2.1. El filósofo griego Aristóteles vivió en el siglo IV antes de Cristo, y está ampliamente reconocido como fundador de la Lógica..

6.1.1.3. EJEMPLO DE LÓGICA FORMAL: 1.Mi esposo tiene los ojos verdes. Yo tengo los ojos cafés. Mis hijos pueden heredar ojos de color café o de color verde. 2: Petes habla inglés. Petes es de Inglaterra. En Inglaterra todos saben hablar inglés.

7. Historia de la lógica. Aristóteles fue el primero en emplear el término “Lógica” para referirse al estudio de los argumentos dentro del "lenguaje apofántico" como manifestador de la verdad en la ciencia. Pensaba que la verdad se manifiesta en el juicio verdadero.

8. Posición del pensamiento lógico hasta Peano.

8.1. Nacimiento: 27 de agosto de 1858 Spinetta, Reino de Cerdeña Fallecimiento: 20 de abril de 1932 (73 años) Turín, Italia Causa de la muerte: Infarto de miocardio

8.1.1. fue un matemático, lógico y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas.

9. Lógica moderna

9.1. La Lógica moderna, por otra parte, surge en el siglo XIX y nos habla más propiamente de lo que se conoce como lógica matemática

9.1.1. Dentro de lo que es la lógica moderna es importante señalar que la misma está compuesta por más tipos de lógica como son la lógica simbólica, la lógica de cuantificación, la lógica de clases y la lógica proposicional.

9.1.1.1. La lógica simbólica es la parte de la lógica encargada de estudiar a la lógica con la exactitud y rigor matemáticos, la principal característica de la lógica simbólica es el uso de símbolos

9.1.1.2. La lógica de cuantificación indica la cantidad de veces que un predicado se satisface dentro de una determinada clase.

10. Propociciones de la logica

10.1. La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades.

10.1.1. Ejemplos de expresiones las cuales no son proposiciones: El hombre más fuerte del mundo. Hoy es jueves. El director del periódico. ¿Quién ganará el Mundial de Pelota Panamá 2011?

10.1.2. Las proposiciones se representan por letras minúsculas: p, q, r, s, t, u, etc. Por ejemplo, sea la proposición q igual a 34 + 56 = 90

10.2. Clasificaciones

10.2.1. Proposiciones simples o atómicas Son aquellas que carecen totalmente de conectivos lógicos y que, por lo tanto, son inseparables. En este grupo se encuentran las proposiciones predicativas, que son aquellas en la cual se afirma o atribuye una característica respecto de un objeto

10.2.1.1. Proposición compuesta o molecular Son aquellas que resultan de la combinación de varias proposiciones simples, unidas por uno o más conectivos lógicos y que pueden ser separadas y descompuestas en proposiciones más simples.