Transformada de Fourier

1. T

1.1. Transformada de Fourier; Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia.

1.1.1. F[dx(t)dt ] = jωX(jω)

1.2. Transformación de Integral; Una transformación integral se define como la operación matemática que asocia a cada función f(t) en el espacio directo (o real).

1.3. Teorema de convolución; el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas.

1.3.1. F[x(t) ∗ y(t)] = X(jω)Y (jω)

1.3.1.1. Propiedades

1.3.1.1.1. Asociativa

1.3.1.1.2. Conmutativa

1.3.1.1.3. Distributiva

1.3.1.1.4. Elemento Neutro

1.4. Teorema de Parseval; la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada.

1.4.1. Z∞−∞|x(t)|2dt =12πZ∞−∞|X(jω)|2dω

2. L

2.1. Linealidad; F[x(t) + y(t)] = X(jω) + Y (jω)

3. P

3.1. Propiedades de la Transformadas;

3.1.1. La transformada de Fourier es una aplicación lineal, es decir, la trasformada de una suma de funciones es la suma de las transformadas

3.1.2. Si la función es absolutamente integrable se cumplen las siguientes relaciones; Cambio de Escala, Traslación, Traslación de la variable transformada, Transformada de la derivada y derivada de la transformada.

4. R

4.1. Respuesta al Impulso; La respuesta a un impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que se presenta en la salida cuando en la entrada se introduce un impulso. Un impulso es el caso límite de un pulso infinítamente corto en el tiempo pero que mantiene su área o integral (por lo cual tiene un pico de amplitud infinitamente alto).

5. S

5.1. Semejanza; F[X(t)] = 2πx(−jω).

6. A

6.1. Antitransformada de Fourier; En matemáticas, el teorema de la inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier.

7. C

7.1. Coeficiente; En matemáticas, un coeficiente es un factor vinculado a un monomio.

7.2. Continuidad a Trozos; Decimos que la función f(t) es continua a trozos sobre un intervalo del eje t si podemos dividir este intervalo en un número finito de subintervalos en que f(t)sea continua.

7.3. Condiciones de Dirichlet; Nombrado en honor del matemático Alemán Peter Dirichlet, las condiciones Dirichlet son las condiciones que garantizan la existencia y convergencia de las series de Fourier.

7.3.1. Condiciones Fuertes; ºEn un periodo, f(t) tiene solo un número finito de mínimos y máximos. ºEn un periodo, f(t) tiene un numero finito de discontinuidades y cada una es finita.

7.3.2. Condiciones Debiles; Para que las series de fourier existan, los coeficientes de fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su existencia. Esencialmente dice que el integral del valor absoluto de la señal debe ser finito. Los límites de integración son diferentes para el caso de las series de fourier y de los del caso de las trasformada de Fourier

7.4. Conjugación; F[x ∗(t)] = X∗ (−jω)

8. D

8.1. Desplazamiento en el Tiempo; F[x(t − t0)] = e−jωt0X(jω)

8.2. Diferenciación; El concepto de derivada de una función matemática se halla estrechamente relacionado con la noción de límite.

9. I

9.1. Integral; definida de una función nos da el área bajo la curva de esa función.

9.2. Integral de Transformada de Fourier; Sea f(t) una función absolutamente integrable y continua a trozos en todo intervalo finito del eje t, podemos definir de la siguiente manera una nueva función F(w), llamada transformada de Fourier de "f"

9.2.1. Es continua o continua por trozos.

9.2.2. Es absolutamente integrable.

9.3. Integrabilidad Absoluta; Decimos que una función de una variable real f(t) es absolutamente integrable cuando la integral ∫_(-∞)^(∞+) f(t)dt Existe.