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"Matrices" por Mind Map: "Matrices"

1. Definición:

1.1. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos.

1.2. Es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.

1.3. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. 

1.3.1. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

2. Dimensiones:

2.1. Las dimensiones de una matriz nos dicen su tamaño: el número de renglones y columnas de la matriz, en ese orden.

2.1.1. Cuando trabajes con las dimensiones de la matriz, recuerda "renglones×columnas".

2.2. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

2.3. El conjunto de matrices de "M" filas y "N" columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

3. Elementos de la matriz:

3.1. Un elemento de la matriz es simplemente una entrada de la matriz. Cada elemento en una matriz se identifica al nombrar el renglón y la columna en los cuales aparece.

4. Matrices Iguales:

4.1. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

5. Tipos de matrices:

5.1. Matriz fila...

5.1.1. Una matriz fila está constituida por una sola fila.

5.1.1.1. (2 3 -1)

5.2. Matriz columna...

5.2.1. La matriz columna tiene una sola columna.

5.2.1.1. (1) (2) (-7)

5.3. Matriz Rectangular...

5.3.1. La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

5.3.1.1. (1-48) (-246)

5.4. Matriz cuadrada...

5.4.1. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

5.4.1.1. Los elementos de la forma aiiconstituyen la diagonal principal

5.4.1.2. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

5.4.1.3. ( 1 4 6 ) ( 6 6 9 ) ( 9 7 2 )

5.5. Matriz Nula...

5.5.1. En una matriz nula todos los elementos son ceros.

5.5.1.1. ( 0 0 ) ( 0 0 )

5.6. Matriz triangular superior...

5.6.1. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

5.7. Matriz triangular inferior...

5.7.1. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

5.8. Matriz Diagonal...

5.8.1. En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

5.9. Matriz Escalar...

5.9.1. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

5.10. Matriz Identidad....

5.10.1. Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

5.11. Matriz traspuesta...

5.11.1. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

5.11.1.1. A= (2 4 -9) (7 -1 8)

5.12. Matriz regular...

5.12.1. Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

5.13. Matriz singular...

5.13.1. Una matriz singular no tiene matriz inversa.

5.14. Matriz idempotente...

5.14.1. Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.

5.15. Matriz involutiva...

5.15.1. Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

5.16. Matriz simétrica...

5.16.1. Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

5.17. Matriz asimétrica...

5.17.1. Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

5.18. Matriz ortogonal...

5.18.1. Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I.

6. Operaciones con matrices:

6.1. Suma de matrices...

6.1.1. Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

6.1.2. La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

6.2. Producto escalar por una matriz...

6.2.1. Dada una matriz A=(aij) y un número real R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

6.2.1.1. kA=(k aij)

6.3. Producto de matrices...

6.3.1. Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de Acoincide con el número de filas de B.

6.3.1.1. Mm x n x Mn x p = M m x p

6.3.2. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

6.4. Matriz inversa...

6.4.1. El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad. A · A-1  = A-1 · A = I

6.5. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss...

6.5.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

6.5.1.1. 1. Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad Ien la derecha.

6.5.1.1.1. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

6.5.1.1.2. La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

6.5.1.2. 2. Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

6.5.1.2.1. F2 - F1

6.5.1.2.2. F3 + F2

6.5.1.2.3. F2 - F3

6.5.1.2.4. F1 + F2

6.5.1.2.5. (-1) F2

7. Rango de una matriz:

7.1. Es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

7.2. Una línea es linealmente dependientede otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

7.3. Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

7.4. El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

7.5. También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

7.5.1. Cálculo del rango de una matriz por determinantes

7.5.2. Suma y diferencia de matrices.