ALGEBRA LINEAL

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ALGEBRA LINEAL por Mind Map: ALGEBRA LINEAL

1. UNIDAD 1

1.1. ELIMINACIÓN DE GAUSS

1.1.1. Dado un sistema AX =b, el método de eliminación Gauss consiste en hallar la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema, A*=(A|b).

1.2. VECTORES Y MATRICES

1.2.1. Una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo.

1.2.2. es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional.

1.3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.3.1. Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma: donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

1.4. INVERSAS Y TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

1.4.1. en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A.

1.4.2. La matriz traspuesta de una matriz A se denota por A^t y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).

1.5. MATRICES ELEMNTALES Y MATRICES INVERSAS

1.5.1. Una matriz elemental de orden n es una matriz que se obtiene a partir de la matriz identidad In aplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e: *Por escalamiento (Intercambio de filas) *Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras (eliminación) *Por permutación

1.6. FACTORIZACION DE UNA MATRIZ

1.6.1. En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

2. UNIDAD 2

2.1. DEFINICION DE DETERMINANTE

2.1.1. se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

2.2. PROPIEDADES DEL DETERMINANTE

2.2.1. El determinante de una matriz es un invariante algebraico, lo cual implica que dada una aplicación lineal todas las matrices que la represente tendrán el mismo determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólo para matrices sino también para aplicaciones lineales.

2.2.2. El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden

2.2.3. Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo.

2.3. DETERMINATES E INVERSAS

2.3.1. se utilizan los determinantes (det) y los cofactores de una matriz de para obtener una fórmula para calcular su matriz inversa.

2.4. REGLA DE CRAMER

2.4.1. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

2.4.1.1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2.4.1.2. El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero

3. UNIDAD 3

3.1. VECTORES EN EL PLANO

3.1.1. Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos: El punto A se le llama origen y el punto de la flecha B se llama extremo del vector; el vector anterior se anota como AB.

3.2. PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES EN R2

3.2.1. producto escalar s una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número. Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de número.

3.2.2. Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

3.3. VECTORES EN EL ESPACIO

3.3.1. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

3.4. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

3.4.1. son una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

3.5. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

3.5.1. La geometría tridimensional se basa en formas algebraicas que involucran, directa o indirectamente, tres variables llamadas por convención x, y y z. Las figuras que describen las ecuaciones algebraicas se ubican en el espacio tridimensional, que representa la idea inmediata de tridimensionalidad a partir de plano cartesiano.

4. UNIDAD 4

4.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS

4.1.1. Sea X un conjunto. Una familia T de subconjuntos de X es una topolog´ıa de X si se cumplen: 1. El conjunto vac´ıo y el conjunto X pertenecen a T. 2. Si A1, . . . , An pertenecen a T, entonces ∩ n 1Aj pertenence a T. 3. Si I es un conjunto y Aα es un subconjunto de X que pertenece a T para cada α ∈ I, entonces ∪α∈IAα pertenece a T. Si T es una topolog´ıa en X, decimos que el par (X, T) es un espacio topol´ogico. Los elementos de T se llaman los abiertos de la topolog´ıa.

4.2. SUBESPACIO

4.2.1. un subespacio se refiere a un subconjunto de algún otro conjunto con cierta estructura, y que posee también esta misma estructura. Dos casos importantes son: *Subespacio vectorial: subconjunto de un espacio vectorial que es, en sí mismo, un espacio vectorial. *Subespacio topológico: espacio topológico obtenido al intersecar un subconjunto de un espacio topológico con todos los abiertos de éste, obteniendo un nuevo espacio topológico.

4.3. COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO

4.3.1. Si x1, x2,. . . ,xk con vectores con n componentes, una combinaci´on lineal con ellos es una expresi´on de la forma: c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk donde los coeficientes c1,c2,. . . ,ck son escalares. Este concepto no es del todo desconocido. En ecuaciones diferenciales lineales y homog´eneas, teniendo la soluci´on general y(t) = c1 y1(t) + · · · + cn yn(t) para obtener soluciones particulares se deben determinar los valores de las constantes ci . Es decir, se escogen los coeficientes de una combinaci´on lineal.

4.4. INDEPENDENCIA LINEAL

4.4.1. Dado un conjunto de vectores en R n , A = {x1, x2, . . . , xk }. A de dice conjunto de vectores linealmente dependiente o simplemente linealmente dependiente, si existe una combinaci´on lineal entre los vectores que da el vector cero

4.5. BASES, DIMENSION, RANGO Y NULIDAD

4.5.1. el teorema rango–nulidad del álgebra lineal, en su forma más sencilla, habla de la relación entre el número de columnas de una matriz, su rango y su nulidad. Específicamente, si A es una matriz de orden m x n (con m filas y n columnas) sobre algún cuerpo

4.6. CAMBIO DE BASE, BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES

4.6.1. Cuando se elige una base B para un espacio vectorial V de dimensión n, la función de coordenadas asociada sobre Rn proporciona un sistema de coordenadas para V. Cada x en V se identifica de manera única con su vector de B-coordenadas [x]B. En algunas aplicaciones, inicialmente se describe un problema usando una base B, pero la solución del problema se facilita al cambiar la base B a una nueva base C.

4.6.2. una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.

4.7. MINIMOS CUADRADOS

4.7.1. s un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos.