Espacios Vectoriales

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Espacios Vectoriales por Mind Map: Espacios Vectoriales

1. Transformaciones lineales

1.1. La matriz A se llama la matriz asociada a la transformación T respecto a las bases { α 1 , α 2 , ..., α n } y { β 1 , β 2 , ..., β m }. Si no hay lugar a confusión en cuanto a las bases, suprimiremos el subíndice de la matriz asociada a una transformación.

2. Aplicaciones

2.1. Física: representación de magnitudes vectoriales

2.1.1. Fuerza

2.1.2. Aceleración

2.1.3. Velocidad

3. Propiedades

3.1. 1. Conmutativa de la suma: v + w = w + v

3.2. 2. Asociativa de la suma: v + (w + u) = (v + w) + u

3.3. 3. Idéntico aditivo: existe un elemento neutro, el vector 0, tal que + v = v para cualquier vector v.

3.4. 4. Inverso aditivo v + (-v) = 0

3.5. 5. Ley asociativa para la multiplicación escalar: (rs)v = r(sv)

3.6. 6. Ley distributiva I: (r + s)v = rv + sv

3.7. 7. Ley distributiva II: r(v + w) = rv + rw

3.8. 8. Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

4. Espacios con producto interno,

4.1. Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno sobre V es una función Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:

4.1.1. 1. Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V • Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z) • Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)

4.1.2. 2. Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V . (Notar que esta condición implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que Φ(v, v) ∈ R.)

4.1.3. 3. Φ(v, v) > 0 si v 6= 0. Notación. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = hv, wi.

5. Bases

5.1. Si un conjunto S de vectores genera V y S linealmente dependiente, entonces la representación de un vector x en términos de los vectores S no es única. Si se desea unicidad, el conjunto generador también deberá ser linealmente independiente. Un conjunto con esas características recibe el nombre de base para V.

5.1.1. 1. Sea S = {v1, v2,,… vn} una base para el espacio vectorial V, y sea v un elemento de V. Los coeficientes en la representación son únicos

5.1.2. 2. Si S = {v1, v2,,… vn} es un conjunto de vectores no nulos que genera a un subespacio W de un espacio vectorial V, entonces algún subconjunto de S es una base para W

5.1.3. 3. Si L = {v1, v2,,… vn} es una base de V, entonces a) cualquier conjunto de n + 1 ( o mas) vectores es linealmente dependiente y por lo tanto no es una base para V, y b) cualquiero conjunto de n – 1 (o menos) vectores no puede generar V y por lo tanto no es una base de V.

5.2. Sea V un espacio euclidiano. Un subconjunto S de V se dice ortonormal si si 〈α , β〉 ϭ 0 para todos α , β ∈ S, con α ≠ β y 〈α , α〉 ϭ 1 para todo α ∈ S. Cuando S es base de V, se dice que S es base ortonomal.

5.2.1. Proceso de Gram-Schmidt. Todo espacio euclidiano de dimensión finita admite una base ortonormal.

6. Construcción

6.1. 1. Un conjunto V de objetivos (vectores).

6.2. 2. Una operación denotada con + que cada par de vectores v, w en V asocia un vector v +w también en V, llamado suma de v y w.

6.3. 3. Una operación llamada multiplicación escalar que a cada numero real r y vector v en V le asocia un vector rv en V, llamado producto de r y v.