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determinantes. por Mind Map: determinantes.

1. Los determinantes tienen muchas propiedades que pueden facilitar los cálculos. Empezar a a estas propiedades estableciendo un teorema, del cual deduciremos lo demás. La demostración de este tema es difícil y se pospondrá para la próxima sección:

2. Definición de matriz, notación y orden.

2.1. Matric

2.1.1. Se define una matriz A de orden m x n, a una reunión de m x n elementos colocados en ‘m’ filas y ‘n’ columnas.

2.2. Notación

2.2.1. Cada elemento que forma la matriz A se denota como aij donde i corresponde a la fila del elemento y j a la columna.

2.3. Orden

2.3.1. Se denomina matriz columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

3. Operaciones con matrices.

3.1. Suma de Matrices

3.1.1. Suma de matrices, A + B: matriz que resulta de sumar los elementos de A y B que están situados en la misma fila y columna. Si A = (aij) y B = (bij), matrices del mismo orden m x n

3.2. Diferencia de matrices

3.2.1. La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda: Página 4 A - B = A + (-B).

3.3. Producto de una matriz con un número real

3.3.1. Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del número real k por la matriz A, como otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de modo que cada elemento pij de P se obtiene como: pij = k.aij

3.4. Producto de dos Matrices

3.4.1. El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, es decir, si la matriz A = ( aij ) tiene dimensión m x n y la matriz B = ( bij ) tiene dimensión p x q, para que se pueda efectuar el producto A . B es necesario que n = p. Por otra parte, la matriz producto P = ( pij ) tendrá por dimensión m x q, es decir, el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. Cada elemento pij de la matriz P se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B, siguiendo el procedimiento descrito en el punto anterior.

4. Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.

4.1. Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬. Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular.

4.2. De hecho se ha demostrado, que todas las matrices no singulares son el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz inversa, la cual tampoco es singular y es también el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

5. Cálculo de la inversa de una matriz.

5.1. Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

5.2. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

5.3. Método de Gauss-Jordán para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss - Jordán para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

6. Clasificación de las matrices.

6.1. Matriz diagonal.

6.2. Matriz nula.

6.3. Matriz asimétrica

6.4. Matriz simétrica

6.5. Matriz escalar.

6.6. Matriz identidad.

6.7. Matriz transpuesta.

7. Definición de determinante de una matriz.

7.1. El determinante de una matriz cuadrada es un número real en la cual exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para determinar determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

8. Propiedades de los determinantes.

9. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

9.1. Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A / I, donde represento la matriz de identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A / I hasta que la matriz A se transforma en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical en la inversa de A, esto es, A-1.