1. Una combinación lineal es una superposición de objetos: imagine que usted tiene dos señales (discretas o continuas). Cuando usted las amplifica y/o atenúa para después mezclarlas, está haciendo una combinación lineal.
1.1. Si x1, x2,. . . ,xk con vectores con n componentes, una combinación lineal con ellos es una expresión de la forma: c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk
1.1.1. donde los coeficientes c1,c2,. . . ,ck son escalares
1.1.1.1. Dados los vectores x1, x2,. . . ,xk , y el vector y, todos ellos vectores con n componentes, ¿cómo saber si el vector y es una combinación lineal de los vectores x1, x2,. . . ,xk ?. Sencillo: viendo si existen c1,. . . ,ck escalares que cumplan y = c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk
1.1.1.1.1. diga si el vector y es combinación lineal de x1, x2, y de x3. Buscamos constantes c1, c2 y c3 que cumplan: c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = y
1.1.1.2. Sustituyendo y desarrollando productos (2,1,-6)
1.1.1.3. Para resolver este sistema formamos la aumentada y reducimos:
1.1.1.3.1. Viendo la posición de los pivotes, concluimos que el sistema es consistente; y por tanto, sí existen constantes c1, c2 y c3 que cumplan el sistema de ecuaciones planteado. De hecho, haciendo cero las variables libres que aparecen en la reducida (c2 = 0) obtenemos una solución particular: c1 = 3 y c3 = −2 con la cual es fácil verificar que 3 x1 + 0 x2 − 2 x3 = y
2. Espacio Generado El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v1, v2,. . . , vk en R n se llama espacio generado por los vectores v1, v2,. . . , vk . Este conjunto se representa por Gen {v1, v2, . . . , vk } .
2.1. Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk
2.1.1. Las mas utilizadas son
2.1.1.1. donde c1,c2,. . . ,ck son escalares libres. Si V = Gen {v1, v2, · · · , vk } se dice que los vectores v1, v2,. . . , vk generan a V y que {v1, v2, . . . , vk } es un conjunto generador de V
2.1.1.2. Observe que x es elemento de Gen {v1, v2, . . . , vk } si y s´olo si x es una combinaci´on lineal de entre los vectores v1, v2,. . . , vk . Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales