1. Ecuaciones de la recta en el espacio
1.1. Dado un punto de la recta A(a1,a2,a3) y un vector director de la recta u (u1,u2,u3)
1.1.1. ECUACIÓN VECTORIAL: (x,y,z)= (a1,a2,a3)+t·(u1,u2,u3) perteneciendo "t" a todos los reales
1.1.2. ECUACIÓN PARAMÉTRICA: x=a1+t·u1 y=a2+ t·u2 z=a3+t·u3
1.1.3. ECUACIÓN CONTINUA: x-a1/u1=y-a2/u2=z-a3/u3
1.1.4. ECUACIÓN IMPLÍCITA: r: ƞ: Ax+By+Cz=D ƞ´: A´x+B´y+C´z=D´
2. Ecuaciones del plano en el espacio
2.1. Dado un punto del plano ƞ A(a1,a2,a3) y dos vectores linealmente independientes que estan en el plano u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
2.1.1. ECUACIÓN VECTORIAL: ƞ: (x,y,z)= (a1,a2,a3)+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3) t y s pertenecen a todos los reales
2.1.2. ECUACIÓN PARAMÉTRICA: x=a1+t·u1+s·v1 y=a2+t·u2+s·v2 z=a3+t·u3+s·v3
2.1.3. ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA: ƞ : Ax+By+Cz+D=0 siendo A,B y C las componentes del vector normal del plano
3. Propiedades más importantes
3.1. Un vector fijo y un punto nos generan un plano
3.2. Tres puntos no alineados nos generan un plano
3.3. Dos planos no paralelos ni coincidentes nos generan una recta
3.4. Dos puntos distintos nos generan una recta
4. Posiciones relativas de dos rectas
4.1. A partir de un punto de cada recta y los vectores directores de las rectas generamos una matriz y una matriz ampliada con los vectores directores de las rectas y un tercer vector que se forma con los puntos de ambas rectas
4.1.1. Si el rango de M=2 y M´=3 entonces las rectas se cruzan
4.1.2. Si el rango de M=2 y M´=2 entonces las rectas se cortan
4.1.3. Si el rango de M=1 y M´=2 entonces las rectas son paralelas
4.1.4. Si el rango de M=1 y M´=1 entonces las rectas son coincidentes
5. Posiciones relativas de una recta y un plano
5.1. A partir de la ecuación implícita de la recta y del plano generamos una matriz y una matriz ampliada
5.1.1. Si M=3 y M´=3 entonces la recta y el plano son secantes ( se cortan en un punto)
5.1.2. Si M=2 y M´=3 entonces la recta y el plano son paralelos
5.1.3. Si M=2 y M´=2 entonces la recta está contenida en el plano
6. Posiciones relativas de dos planos
6.1. A partir de la matriz y la matriz ampliada que forman los dos planos:
6.1.1. Si el rango de M es igual al de M´, que es igual a 2, entonces los planos son secantes ( se cortan en una recta)
6.1.2. Si el rango de M es igual a 1 y el de M´ es igual a 2 entonces los planos son paralelos
6.1.3. Si el rango de M es igual al de M´, que es igual a 1, entonces los planos son coincidentes
7. Posiciones relativas de tres planos
7.1. A partir de la ecuación ímplicita de los tres planos generamos una matriz y una matriz ampliada
7.1.1. Si M=3 y M´=3 entonces los tres planos se cortan en un punto
7.1.2. Si M=2 y M´=3 los tres planos se cortan dos a dos
7.1.3. Si M=2 y M´=2 forman un haz de planos secantes (se cortan en una recta)
7.1.4. Si M=1 y M´=2 entonces los tres planos son paralelos
7.1.5. Si M=1 y M´=1 entonces los tres planos son coincidentes