Matrices y determinante

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Matrices y determinante por Mind Map: Matrices y determinante

1. operaciones con matrices.

1.1. suma de matrices.

1.1.1. Suma de matrices, A + B: matriz que resulta de sumar los elementos de A y B que están situados en la misma fila y columna. Si A = (aij) y B = (bij), matrices del mismo orden m x n .

1.2. Diferencia de matrices.

1.2.1. La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda: Página 4 A - B = A + (-B).

1.3. Producto de una matriz con un número real.

1.3.1. Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del número real k por la matriz A, como otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de modo que cada elemento pij de P se obtiene como: pij = k.aij.

1.4. Producto de dos Matrices.

1.4.1. El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, es decir, si la matriz A = ( aij ) tiene dimensión m x n y la matriz B = ( bij ) tiene dimensión p x q, para que se pueda efectuar el producto A . B es necesario que n = p. Por otra parte, la matriz producto P = ( pij ) tendrá por dimensión m x q, es decir, el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B.

2. clasificación de matrices.

2.1. Matriz diagonal.

2.1.1. es una matriz cuadrada en que las entradas de la matriz diagonal son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

2.2. Matriz nula.

2.2.1. una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero.

2.3. Matriz anti-simétrica.

2.3.1. es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A. Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas)

2.4. Matriz simétrica.

2.4.1. es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta. Una matriz de n x m elementos .

2.5. Matriz escalar.

2.5.1. es escalonada si cumple las siguientes condiciones 1 todas las filas tienen más ceros iniciales que la anterior 2 las filas en las que todos sus términos son cero ( si las hay ) tienen que ser las últimas.

2.6. Matriz identidad.

2.6.1. es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto.

2.7. Matriz transpuesta.

2.7.1. La matriz traspuesta de una matriz se denota por y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).

3. calculo de la inversa de una matriz.

3.1. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

3.2. Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

3.3. Método de Gauss-Jordán para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss - Jordán para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

4. definición de la determinante de una matriz.

4.1. El determinante de una matriz cuadrada es un número real en la cual exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para determinar determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

5. transformación elementales por reglón.

5.1. Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬. Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular.

6. definición de matriz,notación y orden .

6.1. matriz

6.1.1. Se define una matriz A de orden m x n, a una reunión de m x n elementos colocados en ‘m’ filas y ‘n’ columnas.

6.2. notacion

6.2.1. Cada elemento que forma la matriz A se denota como aij donde i corresponde a la fila del elemento y j a la columna.

6.3. orden

6.3.1. Se denomina matriz columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

7. propiedades de la determinantes.

7.1. Los determinantes tienen muchas propiedades que pueden facilitar los cálculos. Empezar a a estas propiedades estableciendo un teorema, del cual deduciremos lo demás. La demostración de este tema es difícil y se pospondrá para la próxima sección:

8. inversa de una matriz cuadrada a través de adjunta.

8.1. Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A / I, donde represento la matriz de identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A / I hasta que la matriz A se transforma en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical en la inversa de A, esto es, A-1.

9. Nombres y apellidos:

9.1. Joseph rasiel arana saldivar .