MATRICES Y DETERMINANTES

1. Definicion de determinantes de una matriz

1.1. El determinante de una Matriz cuadrada es un número real en el cual exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas y estudiaremos metodos y tecnicas para determinar determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

2. Propiedades de los determinantes

2.1. El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.

3. Matriz, notacion y orden

3.1. Matriz

3.1.1. Se defini una matriz A de orden m x n,a una reunion de m x n elementos colocados en 'm' filas y 'n' columnas

3.2. Notacion

3.2.1. Cada elementos que forma la matriz A se denota como aji donde i corresponde a la fila del elemento y j a la columna.

3.3. Orden

3.3.1. Se denomina matriz a la columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

4. Calculo de la inversa de una matriz

4.1. Calculo de la matriz inversa usando determiantes Dadá una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aji).

4.2. Esto es facil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor determinante.

5. El metodo de Gauss

5.1. La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

5.2. Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.

5.3. Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.

5.4. Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.

5.5. Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

6. Rango de una matriz

6.1. Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h £ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A. Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).