Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2

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Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 por Mind Map: Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2

1. Métodos algebraicos de solución de un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2

2. Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de (x,y) que sea solución de ambas ecuaciones a la vez.

3. Sistemas de ecuaciones de 2x2 son sistemas de agrupación de 2 ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Ej. 2x - 3y = 9 5x - 6y = -45

3.1. Métodos para la solución de ecuaciones 2x2 Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones, o ninguna solución, en el sistema 2x2 se emplean varios métodos: *Método gráfico *Método por sustitución *Método de igualación *Método de reducción *Método de determinantes

4. Método de reducción consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún número de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario.

4.1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Para ello, multiplicamos por -2 la primera ecuación. Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida: X + y = 3 2x – y = 0 -2x – 2y = -6 2x – y = 0 ---------------------- 0x – 3y = -6 -3y = -6 y = -6/-3 = 2 Finalmente, sustituimos el valor de y=2y=2 en la primera ecuación y la resolvemos: x + y = 3 x + 2 = 3 x = 3 – 2 = 1 Solución: x = 1, y = 2

5. Método de igualación Consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

5.1. Despejamos en ambas ecuaciones la y x + y=3 → y = 3 - x 2x - y = 0 → y = 2x Como y=y, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación: 3 – x = 2x 3 = 3x x = 3/3 = 1 Ahora, sustituimos el valor de la incógnita x=1 en la primera de las ecuaciones anteriores para calcular y: Y = 3 – x = 3 – 1 = 2 Solución: X = 1, y = 2

6. Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x ) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y . Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos.

6.1. Despejamos en la primera ecuación la x + y = 3 → x = 3 - y Y la sustituimos en la segunda: 2 x - y = 0 2 (3-y) - y = 0 6 - 2y - y = 0 6 - 3y = 0 6 = 3y y= 6/3 = 2 Calculamos x sabiendo y = 2 x = 3 - y = 3 - 2 = 1 Por tanto, la solución del sistema es x = 1, y = 2

7. Gráficas como Método de Solución

7.1. Graficar ecuaciones para identificar y especificar un punto específico de intersección generalmente no es una forma precisa de resolver sistemas porque podría ser difícil encontrar exactamente el punto donde las rectas se intersectan (a menos que estés usando un programa de computadora que te permita ampliar el punto). Sin embargo, la gráfica de un sistema de ecuaciones puede darnos una idea de qué tipo de solución buscamos. Grafiquemos un sistema, y veamos cómo funciona.

7.1.1. Graficar el sistema y = 3x y x + 2y = 4 Una gráfica de las dos rectas y = 3x y x + 2y = 4 nos muestra que las rectas se intersectan, lo que significa que existe un único punto (x, y) que satisface ambas ecuaciones. Observa que la gráfica no nos dice exactamente dónde está dicho valor, pero no necesitamos saber esa información, porque sólo nos han preguntado por el número de soluciones. Entonces un sistema hecho por dos rectas que se intersectan tiene una solución.

7.1.2. Otro ejemplo: y -0.5x = 7 y 2y = x − 3 Graficamos ambas ecuaciones y observamos que no hay solución — las rectas son paralelas. Para confirmar nuestro resultado, podemos comparar las pendientes de las ecuaciones. Para hacerlo más fácil, convertimos las ecuaciones a su forma pendiente-intersección o y = mx + b. Lo que nos da las ecuaciones y = 0.5x + 7 y y = 0.5x − 1.5. Sí, la pendiente de ambas rectas es 0.5, lo que significa que las rectas son definitivamente paralelas. Nunca se intersectas, por lo que no hay un punto que sea común a ambas y no hay solución al sistema.