1. Orto-normales y método de Gram Schmidt
1.1. Orto-normales
1.1.1. una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.
1.2. Gram Schmidt
1.2.1. es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
2. Espacios con producto interno
2.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
2.1.1. (v, v) ≥ 0
2.1.2. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
2.1.3. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
2.1.4. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
2.1.5. (u, v) = (v, u)
2.1.6. (αu, v) = α(u, v)
2.1.7. (u, αv) = α(u, v)
3. Transformaciones lineales
3.1. una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.
4. Construcción de espacios vectoriales
4.1. conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados.
4.1.1. 1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
4.1.2. 2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
4.1.3. 3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
4.1.4. 4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
4.1.5. 5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
4.1.6. 6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
4.1.7. 7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
4.1.8. 8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
4.1.9. 9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
4.1.10. 10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
5. Bases
5.1. Una base de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.
5.2. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.
5.3. Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.
6. Aplicaciones de espacios vectoriales
6.1. La estructura de espacio vectorial ha girado en torno a la manera de trabajar en un espacio vectorial usando el concepto de base.
6.1.1. Una vez dado el objeto matemático, el espacio vectorial, el siguiente paso ´ natural es como ‘relacionar’ dos espacios vectoriales. La pregunta natural que ´ surge es la siguiente: Dados dos espacios vectoriales V y V 0 y una aplicación f : V → V 0 entre ellos ¿hay algún tipo de aplicaciones ‘buenas’ respecto de la estructura vectorial que soportan V y V 0 ?
6.1.1.1. La respuesta es si, y a dichas aplicaciones se les llaman aplicaciones lineales. Igual ´ que sucedía con el concepto de subespacio vectorial, no todas las aplicaciones entre espacios vectoriales son lineales, en verdad, ‘muy pocas’ lo son.