1. Ejemplos
1.1. Dado que lo mismo se puede decir para vectores con tres, cuatro o n componentes, entonces Real elavado a n potencias con las propiedades correspondientes, son espacios vectoriales. Como la suma y la multiplicación por un escalar de todos los vectores con dos componentes satisfacen las 10 propiedades anteriores, decimos que Reales elevado a la 2(Potencia), con estas propiedades es un espacio vectorial.
2. Definición
2.1. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío.
2.2. Consta de dos operaciones: Una operación interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto), Una operación externa(llamada producto (Multiplicación) por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático)
3. Propiedades
3.1. Propiedades de la suma de vectores. Sean u,v, w vectores en V
3.1.1. 1) La Suma Vector u + Vector v = Vector z. es otro vector en V
3.1.2. 2) Vector u + Vector v = Vector v + Vector u. Es decir, la suma es conmutativa
3.1.3. 3) (Vector u + Vector v ) + Vector w = Vector u + (Vector v + Vector w) Es decir , la suma es asociativa
3.1.4. 4) Existe un Vector 0, Tal que Vector u + Vector 0 = Vector 0 + Vector u = Vector u
3.1.5. 5) Para todo vector, Vector u existe un vector -Vector u, tal que Vector u + (- Vector u) = Vector 0 y se denomina inverso aditivo
3.2. Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sean u y v Vectores en V, c y d constantes. (escalares)
3.2.1. 1) El Vector cu es un Vector V
3.2.2. 2) c (Vector u + Vector v) = c Vector u + c Vector v
3.2.3. 3) (c + d) Vector u = c Vector u + d Vector u Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva.
3.2.4. 4) c (d Vector u + ) = (cd ) Vector u
3.2.5. 5) Para todo Vector u, 1 Vector u = Vector u, Tal que Vector u + (-Vector u) = Vector 0 , Y se denomina inverso aditivo