1. Espacios vectoriales
1.1. Construcción
1.1.1. Consiste en:
1.1.1.1. Una operación llamada multiplicación escalar que cada número real R y vector v en V, le asocia un vector en rv en V
1.1.1.1.1. Producto de r y v
1.1.1.2. Una operación detonada con “+” que a cada par de vectores v y w en V también asocia un vector v+w también en V
1.1.1.2.1. Producto de v y w
1.1.1.3. Un conjunto de V de objetos
1.1.1.3.1. Estos objetos reciben el nombre de vectores, en casos específicos puede tratarse de matrices o funciones
1.1.2. Las operaciones se definen de manera que:
1.1.2.1. La suma sea comunicativa
1.1.2.1.1. v + w = w + v
1.1.2.2. La suma sea asociativa
1.1.2.2.1. v + ( w + u ) = ( v + w ) = u
1.1.2.3. Exista en vector cero en V tal que u + 0 = para todo u en v
1.1.2.3.1. El vector 0 se llama idéntico aditivo
1.1.2.4. (rs)v=r(sv)
1.1.2.5. (r+s)v=rv+sv
1.1.2.6. r(v+w)=rv+rw
1.1.2.7. Pa cada vector v en V hay un inverso aditivo v en V tal que v + (-v) = 0
1.1.2.8. lv=v para todo v en V
1.2. Aplicaciones
1.2.1. Creación de video juegos
1.2.2. Transportes aéreos y barcos
1.2.3. En algunas ingenierías como: civil, industrial y sistemas
1.2.3.1. Problemas estadísticos
1.2.3.2. Ecuaciones líneales
1.2.3.3. Cálculos
1.2.3.4. Física
1.2.4. Películas animadas
2. Espacios con productos internos
2.1. Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real <u,v> con cada par de vectores u y v cumple los siguentes axiomas
2.1.1. (v,v) ≥ 0
2.1.2. (v,v)=0 si y solo si v=0
2.1.3. (U,v+w) = (u,v)+(u+w)
2.1.4. (u,v)=(v,u)
2.1.5. (au,v)=a(u,v)
2.1.6. (u,av)=a(u,v)
2.2. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u,v>
2.3. El producto interior euclidiano es solo uno más de l os productos internos que se tiene por definir Rn, para distinguir entre producto interno normal y otros posibles productos internos
2.3.1. u.v= producto punto
2.3.2. <u,v>= producto interno general para espacio vectorial V
2.3.3. Propiedades
2.3.3.1. <0,v>=<v,0=0>
2.3.3.2. <u+v,w>=<u,w>+<v,w>
2.3.3.3. <u,cv>=c<u,v>
3. Transformaciones lineales
3.1. Funciones entre K-espacios vectoriales que son compartibles con la estructura de estos espacios
3.2. Sean (v,+v,*v) y (w, +w, *w) dos K-espacios vectoriales
3.2.1. Una función f: V—-> W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
3.2.1.1. F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u, v∈V
3.2.1.2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V ∀k∈R
3.2.1.3. La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo de condominio 0w:
3.2.1.3.1. T(0v)=0w
3.2.1.4. La imagen del vector -v es igual al opuesto de la imagen de v
3.2.1.4.1. T(-v)=-T(v)
3.2.1.5. Consideremos r vectores del espacio vectorial V
3.2.1.5.1. v1, v2... vr∈V
4. Orto-normales y método de Gram Schmidt
4.1. Sea E(,) un espacio euclideo y B=(v1... vn) una base de E. Entonces, existe una base B ortogonal cuyo primer elemento es v1 y tal que MB’B es triangular
4.1.1. Se puede construir una base ortonormal dividiendo cada vector por su norma.
4.1.1.1. Se puede elegir cuál será el primer vector de la nueva base ortogonal; es el que tomemos como primer vector en la base de partida
4.2. Demostración
4.2.1. 1. Se toma u1=u1
4.2.2. 2.se toma u2=u2+a2,1u1, eligiendo a2,q de forma que 0=(u1,u2)
5. Bases
5.1. Propiedades
5.1.1. Una base de S es un sistema generador minimal de S
5.1.2. Conjunto independiente maximal dentro de S
5.1.3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella
5.2. Tipos de bases
5.2.1. Ortonormal
5.2.1.1. Es un espacio vectorial producto interno; los elementos son mutante otorgonales y normales
5.2.2. Ortogonal
5.2.2.1. Satisface las mismas condiciones excepto la de magnitud unitaria
5.3. Sistema generador
5.3.1. Sea {v1, v2... vr} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V