1. El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
2. CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES CONSISTE EN:
2.1. Un conjunto de Vectores de objetivos; Estos objetos reciben el nombre de vectores, en casos específicos pueden tratarse de matrices o funciones.
2.1.1. Llamado producto de v y w; Una operación denotada con + que a cada par de vectores v,w en V asocia un vector **v+w** también en V
2.1.2. Llamado producto de r y v ; Una operación llamada multplicación escalar, que cada número real r y vector **v** en V le asocia un vector r**v** en V..
3. BASES
3.1. Espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.
3.1.1. Tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial. Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única
3.2. Propiedades
3.2.1. Una base de S es un sistema generador minimal de S
3.2.2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
3.2.3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella.
3.3. Tipos de bases
3.3.1. Base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno; los elementos son mutuamente ortogonales y normales.
3.3.2. Base ortogonal satisface las mismas condiciones salvo la de magnitud unitaria.
4. Espacios con producto interno
4.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
4.1.1. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
4.1.2. ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
4.1.3. Propiedades:
4.1.3.1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
4.1.3.2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
4.1.3.3. ‹u, cv› = c‹u, v›
5. Transformaciones Lineales
5.1. Funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura de estos espacios.
5.2. Sean (V, +V, ·V) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales
5.2.1. Una función f : V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
5.2.1.1. 1.- F(u+v) = F(u) + F(v) ∀u,v∈V
5.2.1.2. 2.- F(k.v) = k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
6. Aplicaciones de espacios vectoriales
6.1. Creación de video juegos.
6.2. Películas animadas.
6.3. Transporte aéreo.
6.4. Transporte de los barcos.
6.5. Ingeniería civil, sistemas e industrial.
6.5.1. Problemas de estadística.
6.5.2. Resolución de ecuaciones lineales.
6.5.3. Conocer fuerzas que actúan sobre un puente o edificio.
7. El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea. es ortogonal. está constituido por vectores mutuamente ortogonales. Los conjuntos así definidos satisfacen la siguiente relación.
8. Sistema generador
8.1. Sea {v1,v2,…vr} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.
9. Orto-normales
9.1. Sea (E(,)) un espacio euclídeo y B=(v1, ..., vn) una base de E. Entonces, existe una base B ortogonal cuyo primer elemento es v1 y tal que MB´B es triangular.
9.1.1. Demostracion
9.1.1.1. 1. Se toma u1 =u1.
9.1.1.2. 2. Se toma u2=u2+a2,1u1, eligiendo a2,1 de forma que 0=(u1,u2)
9.1.1.3. En general se define ui+ai,1u1+ai2u2+...ai,i-1ui-1, tomando ai,j de forma que (ui,uj) = 0 para j = 1, ...i-1- Se tiene que, ai,j = (ui,uj)/(uj,uj), para j = 1, ... , i - 1.
9.2. Bases ortonormales
9.2.1. Se puede construir una base ortonormal dividiendo cada vector por su norma.
9.2.2. Podemos elegir cuál va a ser el primer vector de la nueva base ortogonal: es el que tomemos como primer vector en la base de partida.
9.2.3. V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares <VI Vj> =0 (producto punto)
9.2.4. Si además cada elemento de la base tiene de norma =1, la base se llama ortonormal.