1. Orden de una ecuación diferencial.
1.1. Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma.
1.1.1. Ejemplo de ecuación de Primer orden: ex − y' − 2y = 0,
1.1.2. Ejemplo de ecuación en segundo orden: y ′′ − 2y ′ + y = 3x,
2. Solución de la ecuación diferencial: general y particular.
2.1. Solución general: Es la solución de la ecuación diferencial que contiene una o más constantes arbitrarias, obtenidas de los sucesivos procesos de integración.
2.1.1. y = 2 + Ce − x^2 es la solución general de la ecuación diferencial y ′ + 2xy = 4x.
2.2. Solución particular: Es la solución en la que las constantes toman valores específicos.
2.2.1. y = 2 − e − x^2 es la solución particular que pasa por el punto (0, 1).
3. Solución singular.
3.1. Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.
3.1.1. Ejemplo La familia de rectas y = cx + 2c^2 es la solución general de la ecuación diferencial y´ = xy´ + 2 (y')^2. La parábola x^2 + 8y = 0 es una solución singular.
4. Ecuaciones diferenciales de variables separadas.
4.1. Se dice que una ecuación diferencial es de variables separadas si mediante operaciones algebraicas puede expresarse de la forma y ′ = f(x) g(y), siendo f(x), g(y) funciones continuas.
4.1.1. Ejemplo: y' = x + xy^2/4y
5. Ecuaciones diferenciales exactas, factor integrante.
5.1. Ecuación diferencial exacta: una expresión diferencial es una diferencial exacta en una región del plano xy, si corresponde a la diferencial total de alguna función f (x, y). En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0, en donde las derivadas parciales de las funciones M y N son iguales.
5.2. Factor integrante: El factor integrante de una ecuación diferencial no es más que un acuerdo matemático que nos permite o más bien nos facilita la resolución de una ecuación diferencial.
6. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y a una o más derivadas de esta función desconocida depende de una sola variable independiente.
6.1. Ejemplo. dy/dx+y/x=0
7. Ecuación diferencial ordinaria.
7.1. Se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO) a una ecuación que relaciona una variable independiente x, una función desconocida y (x), y las derivadas de y de diversos ordenes y’, y’’, … y(n ; es decir una expresión de la forma.
7.1.1. Ejemplo 1: Xy’ (x) = y(x)
7.1.2. Ejemplo 2: Y’’(x) = y(x)y0 (x)
8. Problema de valor inicial.
8.1. En esta práctica se analizan los métodos de resolución de problemas de valor inicial con ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.s). Consideraremos inicialmente métodos numéricos para resolver problemas de valor inicial donde se dan las condiciones iniciales en un único punto.
9. Ecuaciones diferenciales homogéneas.
9.1. Una función f (x,y) se llama homogénea de grado n con respecto a las variables x. y si para todo ‘t’ se verifica.
9.1.1. Este es un ejemplo de una ecuación homogénea de tercer grado: x^2y + 3xy^2 - y^3
10. Teorema de existencia y unicidad para un problema de valores iniciales.
10.1. Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico.
10.1.1. Teorema de Cauchy consiste en la búsqueda de una función x(y) definida para los valores x del intervalo [a,b], que sea solución de la ecuación diferencial y= f(x,y) en [a,b], y que en punto X0 del intervalo [a,b] tome el valor Y0.
10.1.2. Teorema de Picard-Lindelöf consiste en resolver el problema de la unicidad de solución si la función f(x,y) verifica además una condición mas fuerte que la requerida en la hipótesis del teorema de Cauchy-Peano: la condición de Lipschitz respecto de la segunda variable.