Métodos que se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

1. Método de sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

2. Método gráfico: Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano, es decir para un espacio de dimensión. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: • Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. • Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. • Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. • En este último paso hay tres posibilidades: • Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado". • Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». • Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales, pero sí en los complejos.

3. Método de Gauss: El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.

4. Eliminación de Gauss-Jordán: Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-jordán, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico

5. Método de reducción: Es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llamado método de reducción, el cual consiste en simplificar el sistema realizando operaciones aritméticas entre las ecuaciones.

6. Método de igualación : Este método consiste en una pequeña variable del sistema de sustitución, para resolver un sistema de ecuaciones por este método se debe despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, que da como resultado una ecuación de primer grado.

7. Método de la matriz inversa: Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que cumple que: A·A ^-1= I = A^-1·A Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente. La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto de cero: ∃A^-1⟺|A|≠0 Aunque existe otro procedimiento para calcular la inversa a través de transformaciones elementales (método de Gauss), la formula con la que se calcula la matriz inversa es: A^-1=1/|A| .(Adj(A)^t )

8. Regla de Cramer: La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución de este resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.