1. Optimización
1.1. Es una aplicación directa del Cálculo Diferencial y sirve para obtener máximos y mínimos de las funciones.
1.1.1. Métodos Estratégicos
1.1.1.1. 1.Identificar la función a optimizar que suele depender de dos variables.
1.1.1.2. 2.El problema nos dará una condición que relaciona ambas variable, y se despeja una variable para sustituir en la función a optimizar.
1.1.1.3. 3.Hallar la primera derivada de la función a optimizar e igualar a cero.
1.1.1.4. 4.La solución obtenida se verifica e interpretar la solución.
2. Optimización II y III
2.1. En cada situación se propone un Modelo matemático, punto de partida fundamental para intentar afrontar su resolución mediante Programación Matemática.
2.1.1. Problemas reales
2.1.1.1. Un agricultor tiene 500 hectáreas de terreno para cultivar próximamente y desea planificar tal cultivo. Sabe que necesitará disponer de 200 toneladas de trigo y 240 toneladas de maíz para alimentar a su ganado, lo que puede obtener mediante su propia cosecha o mediante compra en el mercado. Lo que produzca, y que no dedique a su ganado, lo puede vender. Los precios de venta son de 170 euros y 150 euros por cada tonelada de trigo y de maíz, respectivamente. Los precios de compra son un 40% superior debido a las ganancias de intermediarios y a los costos de transporte. Otro cultivo posible es el de caña de azúcar, que se vende a 36 euros cada tonelada producida. Sin embargo, normas de la Comisión Europea imponen una cuota máxima para la producción de azúcar, lo que conlleva que cada tonelada de caña de azúcar producida sobre tal cuota tendrá un precio de venta de 10 euros. Para el próximo cultivo se espera que tal cuota sea 6000 toneladas. Basado en experiencias anteriores, el agricultor conoce que la producción media es 2,5, 3 y 20 toneladas por hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar, respectivamente. El costo de plantar una hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar es de 150, 230 y 260, respectivamente. Plantear un modelo matemático cuya solución pueda ayudar al agricultor en su deseo de maximizar sus beneficios.
3. Criterios de la derivada
3.1. Primera derivada: La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos: 1.- Cuando la derivada es positiva la función crece. 2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece. 3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo. Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que 1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle) 2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c; 3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo. Entonces f tiene un máximo local en c.
3.2. Segunda derivada: Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además: a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c) b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en(a,c), o viceversa. Bajo las condiciones anteriores el punto(a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión. Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.
4. Primera regla: Empezamos trabajando con una indeterminación del tipo [0/0]. Como ya hemos venido haciendo, al hablar de un intervalo, lo suponemos no vacío y no reducido a un punto.
4.1. Los puntos donde la primera derivada es igual a cero se denominan puntos cr´ıticos. 1 Obtenes los puntos donde f 0 (c) = 0 y clasificarlos. 2 Determinar los puntos c donde f 0 (c) no existe. 3 Obtener el valor de f en los extremos de su dominio. Compararlos entre s´ı para haya el/los valores de x en los que se lcanza el m´aximo y el m´ınimo. Juan Ruiz Alvarez, Marcos Marv´a Ruiz ´ Ma
4.2. TEOREMA: Sea I un intervalo, a ∈ I y f,g : I \ {a} → R funciones verificando. (a) f y g son derivables en I \ {a} (b) g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I \ {a} (c) l´ım x→a f(x) = l´ım x→a g(x) = 0
4.3. Sea I un intervalo, a ∈ I y f,g : I \ {a} → R funciones verificando: (a) f y g son derivables en I \ {a} (b) g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I \ {a} (c) g diverge en el punto a
5. Estudiamos en este tema el método práctico más efectivo para calcular límites de funciones en los que se presenta una indeterminación del tipo [0/0], o [∞/∞].
5.1. Segunda regla: Esta segunda versión se aplica a indeterminaciones del tipo [∞/∞]:
6. En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
6.1. Extremo global
6.1.1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], −∞ < a < b < ∞, entonces f tiene un maximo global y un m´ınimo global en [a, b].
6.2. Extremo absoluto
7. 3.Escribe una ecuación que relacione todas las variables.
8. Razones de cambios relacionadas.
8.1. La derivada dy/dx de una función es: y = f(x) es su razón de cambio instantánea con respecto a x.
8.1.1. Método Estratégico
8.1.1.1. 1.Extraer las variables que contiene el problema, las cuales cambian con el tiempo.
8.1.1.2. 2.Escribir todas las razones que se proporciona, use la notación de derivada.
8.1.1.3. 4.Derivar de forma implícita con respecto al tiempo.