1. Números Complejos
1.1. Conjunto Unión de los Números Reales y los Números Imaginarios
1.1.1. Números Imaginarios
1.1.1.1. Números cuyos cuadrados corresponden a números negativos. La unidad negativa se denota por la letra "i" y los números imaginarios son múltiplos de esa unidad. i²=-1
1.1.2. Forma Estándar: z=a+bi con a y b numeros reales
1.1.3. Parte Real
1.1.3.1. Es el sumando real de un número complejo, denotado "a" en la forma estándar.
1.1.4. Parte Imaginaria
1.1.4.1. Es el coeficiente de "i", "b", en la forma estándar del complejo, por lo que la parte imaginaria, es un número real.
1.1.5. Conjugado
1.1.5.1. El conjugado de un número complejo es igual al número complejo, pero su parte imaginaria es de signo contrario.
1.1.6. Es la suma de sus partes reales, mas la suma de sus partes imaginarias por i. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Recíprocamente, la resta funciona de igual manera. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
1.1.7. Ecuación de complejos
1.1.7.1. Una igualdad de complejos requiere que las partes reales de los complejos sean iguales, a la par de las partes imaginarias. Si a+bi = c+di, entonces a=c y b=d.
1.1.8. Operadores Fundamentales
1.1.8.1. Suma y Resta de números complejos
1.1.8.2. Multiplicación de Complejos
1.1.8.2.1. Su multiplicación debe hacerse "término a término" igual que dos binomios. (a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
1.1.8.3. División de Complejos
1.1.8.3.1. 1) Multiplicamos el conjugado del divisor al numerador y al denominador de la fracción.
1.1.8.3.2. 2) Multiplicación de complejos en el numerador.
1.1.8.3.3. 3) En el denominador obtenemos "suma por su diferencia", lo que resulta en un número real.
1.1.8.3.4. 4) Escribir en su forma estándar
1.1.9. Inverso multiplicativo
1.1.9.1. El inverso multiplicativo de un complejo "z" es aquel que multiplicado por "z" resulta el complejo 1+0i=1. por lo que el inverso de "z=c+di" es una división de complejos donde a=1 y b=0, y reemplazando: [(1*c+0*d)/(c²+d²)] + [(0*c-1*d)/(c²+d²)] i = [c/(c²+d²)] + [(-d)/(c²+d²)] i
2. Desigualdades
2.1. Cuando tenemos una desigualdad del tipo a<x<b, anotamos el intervalo solución de la forma "(a,b)", con a y b fronteras del intervalo.
2.1.1. Intervalo Abierto se representa por paréntesis "( )" y significa que, o la frontera no está incluida en la solución, o no está acotado, donde se denota el ∞ o el -∞. Ej: x<4 Intervalo (-∞,4)
2.1.2. Intervalo Cerrado se representa por corchetes"[ ]", y significa que la frontera si está incluida en el conjunto solución. Ej: 3≤x≤10 Intervalo [3,10]
2.1.3. Semiabierto significa que por un lado la frontera está incluida y por el otro lado la frontera no está incluida, o no acotado. Ej: x≥5 Intervalo [5,∞)
2.2. Haciendo uso de las relaciones de orden (>, <, ≥, ≤) podemos dar restricciones a alguna variable x. Ej: x<1 Si al reemplazar algún valor por la variable, se llega a una proposición verdadera, ese valor es una solución de la desigualdad.
2.2.1. Desigualdades Equivalentes
2.2.1.1. Paralelo a las igualdades, dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. 3x<0, y 5x<0 son equivalentes.
2.2.2. Propiedad de los Signos del Producto
2.2.2.1. "Si una desigualdad se multiplica por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte" Ej: -3x>8 ----> x<-8/3
2.2.3. Desigualdad Simultánea
2.2.3.1. Cuando una variable está restringida inferiormente (a<x), y superiormente (x<b) al mismo tiempo. También puede entenderse cono la intersección entre ambos conjuntos solución.
2.2.4. Desigualdad de valor Absoluto
2.2.4.1. Desigualdades en las que la variable está dentro de un valor absoluto. Ya que dentro del valor absoluto podría ser negativo o positivo, se deben considerar ambos casos simultáneamente de la siguiente manera.
2.2.4.1.1. por ejemplo, con la desigualdad (|x|<a), si x es negativo tenemos que (|x|=-x), entonces reemplazando se tiene que (-x<a) o también (x>-a), pero si x es positivo, entonces (x<a). De esta forma, tenemos la desigualdad simultánea (-a<x<a).
2.2.5. Desigualdad Racional
2.2.5.1. En este caso se consideran las desigualdades de la forma [P(x)/Q(x)]>0 y los demás operadores (<, ≥, ≤) con P(x) y Q(x) polinomios sin factores comúnes. Ej: (x-1)/(x³+2x)≤0
2.2.6. Desigualdades Lineales
2.2.6.1. Son cualquier desigualdad que pueda escribirse de alguna de estas maneras: (ax+b<0), (ax+b>0), (ax+b≤0) o (ax+b≥0)
2.3. Notación de Intervalos
2.4. Tabla de Signos
2.4.1. Método de resolución de desigualdades polinomiales y racionales, que ayuda a definir, a través de el signo de sus factores en un cierto intervalo, el intervalo de x en el cual el polinomio cumple con la desigualdad.
2.4.2. La tabla de signos utiliza a los ceros del polinomio asociado a la desigualdad (valores de x para los cuales P(x)=0), porque es en esos puntos en los que la función hace la transición de un signo a otro. (Recordemos que la desigualdad es del tipo P(x) comparado con 0). Por esta razón, el intervalo solución estará entre los ceros del polinomio, o fuera de ellos, con los extremos del intervalo incluidos o no.
2.5. Desigualdad Polinomial
2.5.1. Son desigualdades del estilo P(x)<0, P(x)>0, etc. Con P(x) un polinomio de grado arbitrario. Ej: 3x³-2x+1>0
3. 2) Sumar Coeficiente: Sumar a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. "(b/2a)²"
3.1. x²+(b/a)x = -(c/a) x²+(b/a)x+(b/2a)² = -(c/a)+(b/2a)²
4. Ecuación Cuadrática
4.1. Ecuación de la forma ax²+bx+c=0 con a≠0. Puede tener 2, 1, o ninguna solución real.
5. Ecuaciones
5.1. Corresponde a la igualdad de dos expresiones, donde alguna de ellas debe tener a lo menos una variable, típicamente referica como x.
5.1.1. Raíz
5.1.1.1. Cualquier valor que sustituido por la variable, forma una igualdad verdadera.
5.1.1.1.1. La raíz de 3x=6, es x=2.
5.1.2. Identidad
5.1.2.1. Corresponde a una ecuación donde todo el dominio de la variable es raíz de la ecuación.
5.1.2.1.1. x-7=2(x-6)-(x+1) es Identidad.
5.1.3. Ecuación Condicional
5.1.3.1. Ecuación que restringe en a lo menos un valor al conjunto solución.
5.1.3.1.1. x=|x| es Condicional pues x no puede ser negativo.
5.1.4. Ecuaciones Equivalentes
5.1.4.1. Dos o más ecuaciones cuyas soluciones son iguales.
5.1.4.1.1. -0.02x²+4=0 es una ecuación cuadrática.
5.1.4.1.2. x-2=0 es equivalente con x=2.
5.1.5. Ecuación Lineal
5.1.5.1. Ecuación de la forma ax+b=0 con a≠0.
5.1.5.1.1. 0.02x+49.98=0 es una ecuación lineal.
5.1.5.1.2. 1) Despejar en x²: Dejar el término constante del lado opuesto de la ecuación y, si el coeficiente de x² no es 1, dividir ese coeficiente a ambos lados de la ecuación.
5.1.6. Ecuación Polinomial
5.1.6.1. Para generalizar, una E. polinomial de orden n corresponde a una ecuación cuya variable de mayor exponente, tiene exponente n, y coeficiente no nulo. n pertenece a los números naturales.
5.1.6.1.1. 3x³-5x=0 es una ecuación polinomial de tercer orden.
5.1.7. Ecuación de Valor Absoluto
5.1.7.1. Es una ecuación con alguna variable dentro de un valor absoluto.
5.1.7.1.1. |3x³|=24 ecuación de valor absoluto.
5.2. Conjunto Solución
5.2.1. El conjunto solución es aquel que contiene todas las raíces de una ecuación.
5.2.1.1. R+{0}, es conjunto solución de la Ecuación
5.3. Solución
5.3.1. Solución Extraña
5.3.1.1. Solución que se añade al multiplicar una expresión con una variable a una ecuación. Por esta razón, ambas ecuaciones no son equivalentes.
5.3.1.1.1. x-3=0 tiene solución 3, (x-3)(x+1)=0(x+1) tiene como soluciones 3 y -1. -1 es una solución extraña.
5.4. Completar el Cuadrado
5.4.1. Comprobación de una Ecuación
5.4.1.1. Se sustituye un valor por la variable, y se comprueba al valor como solución si se consigue una afirmación verdadera.
5.4.1.1.1. 2 es solución de x-2=0 porque 2-2=0 es verdadero.
5.4.2. Método de resolución de ecuaciones cuadráticas, donde el coeficiente de x² debe ser 1. Funciona de la siguiente manera:
5.4.2.1. 3) Factorizar: Ya tenemos el cuadrado de una suma, y como tal lo factorizamos. También sumamos las fracciones de la derecha.
5.4.2.1.1. x²+(b/a)x+(b/2a)² = -(c/a)+(b/2a)² ( x+(b/2a) )² = (b²-4ac)/(4a²)
5.4.2.2. 4) Raíz cuadrada y despejar: Ahora aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, y despejamos x.
5.4.2.2.1. ( x+(b/2a) )² = (b²-4ac)/(4a²) √( x+(b/2a) )² = ±√[(b²-4ac)/(4a²)] x+(b/2a) = ±√(b²-4ac)/(2a) x=-(b/2a)±√(b²-4ac)/(2a) x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
5.5. Fórmula Cuadrática
5.5.1. Naciente de la técnica de completar cuadrados, sirve para encontrar las soluciones de la ecuación de forma inmediata.
5.5.1.1. x1=[-b+√(b²-4ac)]/2a x2=[-b-√(b²-4ac)]/2a
5.5.1.2. Discriminante
5.5.1.2.1. Coeficiente sub-radical de la fórmula cuadrática. Dependiendo de su valor, se dará la cantidad de soluciones reales de la ecuación. Se denota por la letra delta Δ=b²-4ac
5.6. Teorema de Pitágoras
5.6.1. Todo triángulo rectángulo se conforma de un lado grande, llamado hipotenusa, y dos mas pequeños, llamados catetos. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado. h²=(c1)²+(c2)²