1. construcción de espacios vectoriales
1.1. es
1.1.1. descomposición genética correspondiente a la coordinación entre los procesos operaciones por un escalar, junto a su axiomática definen al espacio vectorial como objeto.
1.1.1.1. axiomas
1.1.1.1.1. Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢,∀ 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉.
1.1.1.1.2. Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤; ∀ 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ 𝑉
1.1.1.1.3. Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que
1.1.1.1.4. 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢,∀ 𝑢∈𝑉.
1.1.1.1.5. Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖∈𝑽, existe un −𝒖∈𝑽 tal que
1.1.1.1.6. ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 existe ( −𝑢) ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 =0
2. método Gram-Schmidt
2.1. consiste en ir modificando los vectores dados convenientemente para que cada uno sea ortogonal con los anteriores.
2.1.1. base de partida
2.1.1.1. u1, u2, u3,
2.1.1.1.1. Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u1 = v1.
2.1.1.1.2. u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1
2.1.1.1.3. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1
2.1.1.1.4. u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2
2.1.1.1.5. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.
2.2. interpretación del algoritmo para un caso que es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos.
3. transformaciones lineales (u homomorfismo, o simplemente morfismo)
3.1. Sean (V, +V, ·V) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V → W
3.2. se llama una transformación lineal de V en W
3.2.1. si cumple
3.2.1.1. Es aditiva: T(a + b) = T(a) + T(b) ∀a,b ∈ V Es homogénea: T(λa) = λT(a) ∀a ∈ V ∀λ ∈ F.
3.3. aplicación T es lineal si y sólo si
3.3.1. ∀a,b ∈ V ∀λ,µ ∈ F T(λa + µb) = λT(a) +µT(b)
3.3.2. ∀a,b ∈ V ∀λ ∈ F T(λa + b) = λT(a) + T(b)
4. El producto interior euclidiano
4.1. se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos
4.1.1. Propiedades de los productos interiores
4.1.1.1. 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
4.1.1.2. 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
4.1.1.3. 3. ‹u, cv› = c‹u, v>
5. bases orto-normales
5.1. cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios.
5.1.1. Esta base formada por los vectores "i" y "j" se denomina base canónica.
6. Espacios con producto interno
6.1. es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
6.1.1. propiedades
6.1.1.1. i. (v, v) ≥ 0
6.1.1.2. ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
6.1.1.3. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
6.1.1.4. iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
6.1.1.5. v. (u, v) = (v, u)
6.1.1.6. vi. (αu, v) = α(u, v)
6.1.1.7. vii. (u, αv) = α(u, v)
6.2. Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.
7. Aplicaciones de espacios vectoriales.
7.1. se aplica en
7.1.1. cualquier estudio de modelización por medio de la teoría de elementos finitos o modelización por medios continuos se aplica dicha teoría.
7.1.1.1. mecánica
7.1.1.1.1. los fluido, se modelizan como un medio continuo y así se definen magnitudes.
7.1.1.2. física
7.1.1.2.1. Los campos eléctricos y los campos magnéticos.