ESPACIO VECTORIAL

Espacio Vectorial

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ESPACIO VECTORIAL por Mind Map: ESPACIO VECTORIAL

1. VECTOR

1.1. Un vector es un segmento de recta orientado (flecha) que se utiliza para representar graficamente magnitudes vectoriales.

1.2. ELEMENTOS

1.2.1. Modulo; Es la longitud del vector que esta relacionado con el valor numerico de la magnitud vectorial

1.2.2. Dirección; Es la recta que contiene al vector y esta indicada por el ángulo a que forma con el eje +x. La dirección nos indica de manera implícita el sentido, que es el lugar hacia donde apunta la flecha

2. CONSTRUCCION DE ESPACIO VECTORIAL

2.1. AXIOMAS DE UN ESPACIO

2.1.1. VECTORIAL (ADICIÓN)

2.1.1.1. Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢,∀ 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉.

2.1.1.2. Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤; ∀ 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ 𝑉

2.1.1.3. Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢,∀ 𝑢∈𝑉.

2.1.1.4. Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖∈𝑽, existe un −𝒖∈𝑽 tal que ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 existe ( −𝑢) ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 =0

2.1.2. VECTORIAL (PRODUCTO POR UN ESCALAR)

2.1.2.1. Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para 𝒖∈𝑽 y 𝜶,𝜷∈ℝ se cumple: 𝜶𝜷𝒖=𝜶𝜷𝒖

2.1.2.1.1. Primera ley distributiva: Para 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ ℝ se cumple: 𝜶𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜶𝒗

2.1.2.1.2. Segunda ley distributiva: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se cumple: 𝜶 + 𝜷𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖. Para cada vector 𝒖 ∈ 𝑽 se cumple: 1.𝑢 = 𝑢

2.2. COMBINACIÓN LINEAL E INDEPENDIENCIA LINEAL

2.2.1. Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que 𝑣∈𝑉 es combinación lineal de los vectores 𝑣1;𝑣2;…;𝑣𝑛⊂𝑉, si existen escalares 𝛼1;𝛼2;…;𝛼𝑛

2.2.2. Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectores 𝑣1;𝑣2;…;𝑣𝑛 ⊂ 𝑉, es linealmente dependiente (L.D) si y sólo si existen escalares 𝛼1;𝛼2;…;𝛼𝑛, con algún 𝛼𝑖≠0. En caso contrario, se dice que el conjunto 𝑣1;𝑣2;…;𝑣𝑛 es linealmente independiente (L.I)

2.2.2.1. Ejemplo: Exprese el vector A = (2,2) como una combinación lineal de los vectores B = (3,1) ; C = (-1,3) (2,2) = ∝1(3,1) + ∝2(-1,3) 3 ∝1 - 2∝2 = 2 ∝1 + 3∝2 = 2 Desarrollamos las dos ecuaciones con el fin de hallar ∝1 = 10/11 y ∝2 = 4/11 Se determina que es linealmente dependiente.

2.3. DEPENDIENCIA E INDEPENDIENCIA LINEAL DE VECTORES

3. BASES EN EL ESPACIO VECTORIAL

3.1. Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.

3.2. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

3.2.1. Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base.

4. METODO DE GRAM-SCHMIDT.

4.1. El procedimiento de Gram-Schmidt es un algoritmo simple para obtener una base ortogonal (u ortonormal, normalizando los nuevos vectores) a partir de otra que no lo es.

4.2. Sea una base (v1, . . . , vp) del subespacio S de V. Definimos: w1 = v1 , w2 = v2 − v2, w1i w1, w1i w1 , w3 = v3 − v3, w1i w1, w1i w1 − v3, w2i w2, w2i w2 , . . . wp = vp − vp, w1i w1, w1i w1 − vp, w2i w2, w2i w2 − · · · − vp, wp−1i wp − 1, wp−1i wp−1 . Entonces (w1, . . . , wp) es una base ortogonal de S. Además Gen(v1, . . . , vk) = Gen(w1, . . . , wk), 1 6 k 6 p .

4.3. Conjuntos ortogonales y ortonormales

4.3.1. Ortogonal si cualquier par de vectores distintos de S es ortogonal, es decir, si para todo v,w en S, con v\neq w se tiene que ( v, w ) = 0.

4.3.2. Ortonormal si es ortogonal, y además todo vector de S tiene norma 1 En otras palabras, S es ortonormal si para todo v en S se tiene (v, v) =1 y para v y w en S distintos se tiene (v, w) =0.

4.4. Propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales

4.4.1. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos se puede normalizar como en el ejemplo de la sección anterior para obtener un conjunto ortonormal. Es decir, si S es un conjunto de vectores distintos de 0,

4.4.2. Una propiedad fundamental de los conjuntos ortonormales de vectores es que son linealmente independientes. Se puede probar algo un poco más general.

4.5. Bases ortogonales y ortonormales

4.5.1. Una base ortogonal si S es una base de V y es un conjunto ortogonal.

4.5.2. Una base ortonormal si S una base de V y es un conjunto ortonormal.

5. Un espacio vectorial es un conjunto no vacio V de objetos, llamados vectores, en el que estan definidas dos operaciones, llamadas adicion y multiplicación por un escalar (números reales), sujeta a 10 axiomas (o reglas).

6. PRODUCTO INTERNO

6.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>. Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

6.2. PROPIEDADES

6.2.1. i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v)

6.3. PRODUCTO EUCLIDIANO

6.3.1. es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn) ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

6.3.2. PROPIEDADES

6.3.2.1. 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w› 3. ‹u, cv› = c‹u, v›. Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

7. TRANSFORMACIONES LINEALES

7.1. son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares

7.1.1. SUMA DE VECTORES

7.1.1.1. Suma de vectores: 1{v1} + 1v2

7.1.1.2. Diferencia de vectores: 1v1-1v2

7.1.2. MULTIPLICACION DE VECTORES

7.1.2.1. Vector 0: 0v1 + 0v2

7.1.2.2. Vector v1 en la dirección de v1 -> v1+0v2

8. APLICACION

8.1. Dentro de la ingeniería dándole al individuo capacidades para resolución de problemas, también ayudan al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales las cuales son: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos.

8.2. A través de la informática son numerosas ya que la solución de muchos problemas relacionados con graficas computarizada, procesamiento de imágenes, software

8.3. EJEMPLO

8.3.1. Construiremos gradualmente la base T deseada. El primer paso consiste en encontrar una base ortogonal T = {v1, v2,……., vm} para W, eligiendo cualquier de los vectores S, digamos u1, llamándolo v1; v1= u1, Después buscando un vector v2 en el subespacio W1 de W generado por {u1, u2} que sea ortogonal a v1, Como v1 = u1, W1 es también el subespacio generado por {v1, u2}. De tal manera: v2 = c1v1 + c2u2. Determinaremos c1 y c2 de modo que v1. v2 = 0. Ahora, 0 = v2. v1 = (c1v1 + c2u2). v1 = c1(v1 . v1) + c2(u2. v1). Como v1 no es igual a 0 y v1. v1 no es igual a 0, y al resolver para c1 y c2 obtenemos donde podemos asignar un valor arbitrario no nulo a c2. Si hacemos c2 = 1, obtenemos por lo tanto, Hasta este momento construimos un subconjunto ortogonal {v1, v2} de W. A continuación, determinaremos un vector v3 que está en el subespacio W2 de W generado por {u1, u2, u3}: Sea, v3 = d1v1 + d2v2 + d3u3 Trataremos que d1 y d2 sean tales que: v3. v1 = 0 y v3. v2 = 0 Ahora, 1) 0 = v3. v1 = (d1v1 + d2v2 + d3u3). v1 = d1 (v1. v1) + d3 (u3. v1). 2) 0 = v3. v2 = (d1v1 + d2v2 + d3u3). v2 = d2 (v2. v2) + d3 (u3. v2).