Conjuntos de Números

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Conjuntos de Números por Mind Map: Conjuntos de Números

1. Naturales

1.1. 1,2,3,4,5,6,7...

1.1.1. si se + o * dos números naturales el resultado siempre será un número natural

1.1.1.1. Ejemplo 9+2=11 7*19=133

2. Enteros

2.1. ...-3,-2,-1,0,1,2,3...

2.1.1. Los números naturales también son enteros, si se +, * o - dos números enteros el resultado es entero.

2.1.1.1. Ejemplo -13+8=-5 (-27)(5)=-135

3. Irracionales

3.1. π, √2

3.1.1. No pueden expresarse como la razón de dos enteros, tiene cifras no periodicas

4. Racionales

4.1. a/b

4.1.1. Puede ser representado por fracciones, abarca los enteros y el decimal distinto de 0, el resultado es un numero racional.

4.1.1.1. Ejemplo ...-3/4, -1/2, -1/4, 0, 1/4, 1/2, 3/4...

5. Propiedades de los Números reales

5.1. Conmutativas

5.1.1. No importa el orden al sumar o multiplicar

5.1.2. Si a y b son números reales entonces

5.1.2.1. a+b=b+a y ab=ba

5.2. Asociativas

5.2.1. si 3 numero se suman o multiplican a la vez no importa cuales dos de ellos lo hagan.

5.2.2. Si a, b y c son numeros reales entonces

5.2.2.1. (a+b)+c= a+(b+c) y (ab)c=a(bc)

5.3. Distributivas

5.3.1. Los segundo miembros son iguales uno a otro, los lados de la izquierda deben ser iguales

5.3.2. Si a, b y c son números reales, entonces

5.3.2.1. a(b+c)=ab+ac y (b+c)a=ba+ca

6. Elementos Identidad

6.1. No alteran numero alguno bajo sus respectivas operaciones

6.2. Si a un numero real cualquiera

6.2.1. a+0=a y a.1=a

7. Inversos

7.1. Si a es un numero real arbitrario, entonces existe un único numero real denominado Negativo de a seria -a

7.1.1. a+(-a)=0

7.2. Si a no es 0, también existe un único numero real denominado Reciproco de a

7.2.1. a.a-1=1

8. FRACCIONES

8.1. Multiplicación de Fracciones

8.1.1. se obtiene multiplicando los 2 numeradores y luego los denominadores.

8.1.1.1. (a/b)(c/d)=ac/bd

8.2. División de fracciones

8.2.1. La segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera.

8.2.1.1. (a/b)/(c/d)=(a/b)(d/c)=ad/bc

8.3. Cancelación de factores comunes

8.3.1. El numerador y denominador pueden multiplicarse o dividirse por un numero real distinto de 0 sin alterar el valor de la fracción.

8.3.1.1. a/b=ac/bc (c distinto de 0)

8.3.2. Sirve para reducir una fracción a su Mínima Expresión.

8.4. Adición y sustracción

8.4.1. Cuando tienen un común denominador, pueden sumarse sumando sus numeradores

8.4.1.1. a/c+b/c=a+b/c

8.4.2. Regla similar a sustracción

8.4.2.1. a/c-b/c=a-b/c

8.4.3. Cuando se suma o resta fracciones con denominadores diferentes, primero se reemplaza cada fracción por una equivalente que tenga un denominador común.

8.4.3.1. Mantiene los números tan pequeños como sea posible, denominado Mínimo común denominador.

9. Demostraciones de los teoremas

9.1. Teorema 1

9.1.1. (1/b)(1/d)=1/bd

9.1.1.1. (1/b)=b-1 y (1/d)=d-1

9.1.1.1.1. (1/b)(1/d)=b-1d-1

9.2. Teorema 2

9.2.1. (a/b)(c/d)=ac/bd

9.2.1.1. a/b=ab-1=a(1/b) y c/d=c(1/d)

9.2.1.1.1. (a/b)(c/d)=a(1/b).c(1/d)=ac.(1/b.1/d)

9.3. Teorema 3

9.3.1. (a/b)-1=b/a

9.3.1.1. a/b=ab-1 , por el teorema 1

9.3.1.1.1. (a/b)-1=(ab-1)-1=a-1(b-1)-1

9.4. Teorema 4

9.4.1. (a/b)/(c/d)=(a/b).(d/c)

9.4.1.1. x/y=xy-1 tenemos igualdades

9.4.1.1.1. (a/b)/(c/d)=(a/b).(c/d)-1=(a/b).(d/c) , por el teorema 3

9.5. Teorema 5

9.5.1. a/b=ac/bc=(c no igual a 0)

9.5.1.1. c diferente a 0, la fracción c/c=1, por definición c/c=cc-1, por el teorema 2

9.5.1.1.1. ac/bc=(a/b).(c/c)=a/b.1=a/b

9.6. Teorema 6

9.6.1. a/c+b/c=a+b/c (c no igual a 0)

9.6.1.1. a/c=ac-1 y b/c=bc-1

9.6.1.1.1. a/c+b/c=ac-1+bc-1=(a+b)c-1 , por propiedad distributiva