1. Semana 13
1.1. Derivada de una función implícita. Derivadas de orden superior
1.1.1. Derivadas de orden superior
1.1.1.1. La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si F(X) es una función y existe su primera derivada f'(x). Es importante tener en cuenta:
1.1.2. Derivada de una función implícita
1.1.2.1. La función 𝑦 = 𝑓 𝑥 está definida implícitamente por la ecuación 𝐸 (𝑥; 𝑦) = 0, cuando para cada 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) en el punto (𝑥; 𝑓 (𝑥)) satisface 𝐸 𝑥; 𝑓 𝑥 = 0 para cada 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓. El procedimiento para hallar la derivada en forma implícita, consiste en derivar la ecuación dada con respecto a la variable independiente y luego resolver la ecuación resultante.
2. Semana 14
2.1. Monotonía y concavidad de una función real mediante la derivada.
2.1.1. Respecto a la monotonía, buscaremos los intervalos en los que la función es monótona creciente o decreciente aplicando el criterio de la primera derivada, lo que nos permitirá deducir la existencia de extremos (máximos y mínimos). Respecto a la concavidad, usaremos el criterio de la segunda derivada para buscar los posibles puntos de inflexión.
2.1.1.1. 1. Estudiar el dominio de la función
2.1.1.1.1. Si el dominio está formado por uno o más intervalos, tenemos que estudiar si los extremos finitos de los intervalos son extremos.
2.1.1.1.2. Si el dominio es los reales, los únicos posibles extremos son los puntos críticos, es decir, los que anulan la primera derivada.
2.1.1.2. 2. Búsqueda de extremos
2.1.1.2.1. Calculamos la derivada de la función. Buscamos los posibles extremos: puntos críticos (puntos en los que se anula la derivada).
2.1.1.3. 3. Monotonía
2.1.1.3.1. Estudiamos el signo de la derivada en algún punto de los intervalos en que los puntos críticos dividen el dominio:
2.1.1.3.2. Si el signo es positivo: la función crece en el intervalo al que pertenece el punto.
2.1.1.3.3. Si el signo es negativo: la función decrece.
2.1.1.3.4. Según la monotonía, sabemos si los puntos críticos son extremos y, en tal caso, si son máximos o mínimos:
2.1.1.3.5. Si es creciente a la izquierda del punto crítico y decreciente a la derecha, se trata de un máximo.
2.1.1.3.6. Si es decreciente a la izquierda del punto crítico y creciente a la derecha, se trata de un mínimo.
2.1.1.3.7. Si es creciente o decreciente a la derecha e izquierda del punto crítico, no es un extremo.
2.1.1.4. 4. Concavidad
2.1.1.4.1. Calculamos la segunda derivada. Buscamos los puntos de inflexión, posibles cambios de concavidad (o viceversa), que son los puntos que anulan la segunda derivada. Los puntos de cambio de definición también pueden ser puntos de inflexión aunque no anulen la segunda derivada.
3. Semana 11
3.1. La derivada de una función
3.1.1. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
4. Semana 12
4.1. Diferenciación: funciones compuestas, implícitas e inversas
4.1.1. función compuesta
4.1.1.1. La composici´on de funciones no es otra cosa que el resultado de aplicar primero una y despu´es la otra. Es una operaci´on b´asica que refleja algo habitual en cualquier proceso de transformaci´on: lo que se obtiene como resultado de una etapa pasa a ser insumo para la siguiente. Esto mismo es la composici´on de funciones.
4.1.2. regla de la cadena
4.1.2.1. La regla de la cadena, nos permite conocer la derivada de una función compuesta, utilizando las derivadas de las funciones que la componen
5. Semana 15
5.1. Concavidad y puntos de inflexión de una función. Trazado de gráficas.
5.1.1. Criterio de la primera y segunda derivada. Optimización aplicada.
5.1.1.1. Se dice que una función f(x) es convexa si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica, el segmento trazado queda por encima de la gráfica:
5.1.2. Puntos de inflexión
5.1.2.1. Podemos ver en el ejemplo anterior que en el punto (en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos que es punto de inflexión.
5.2. Criterio de la primera y segunda derivada. Optimización aplicada.
5.2.1. Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico
5.2.2. El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.