Aplicación de derivadas

1. Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.

2. Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.

3. Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto.

4. la determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación:

5. función

5.1. MINIMO Y MAXIMO DE UNA FUNCION

5.1.1. si f(x) tiene un máximo o mínimo local en x. , entonces la pendiente de la recta tangente(derivada) en dicho punto es igual a cero

5.2. OPTIMIZACION

5.2.1. concavidad hacia arriba: sea f derivable en un numero c, se dice que la grafica de f es concava hacia arribaconcavidad hacia abajo: sea f derivable en un numero c, se dice que la grafica de f es concava hacia abajopunto de inflexión: s e denomina inflexión si f existe intervalo abierto (a,b) que contiene a ( c y f)

5.3. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

5.3.1. se intersecan se define como el ángulo entre las dos tangentes de las dos curvas en el punto de intersección

6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

7. APLICACIONES EN EL AMBITO DEL COMERCIO: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.

8. METODO DE NEWTON: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor.

9. teoremas

9.1. TEOREMA DE ROLLE: El teorema de Rolle nos permite afirmar si una función f(x) tiene un punto crítico en un intervalo dado. Este teorema se enuncia como sigue: Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre a y b tal que: F’(c)= 0 Ejemplo: f(x)=x3+ 4x2-7x-10 en el intervalo [-1, 2] f'(x)=3x2+ 8x-7 f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0 f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0 Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que: Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.