TEORÍA DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO: Se le llama conjunto a una colección o agrupación de elementos perfectamente bien definidos y diferenciados dentro de un todo, llamados miembros o elementos del conjunto ; estos se han empleado para enseñar a contar y resolver problemas que incluyen la noción de cantidad, esto nos lleva a comprender el concepto de número entero con mayor facilidad y las ideas geométricas al emplear la teoría de conjuntos. Existen dos formas de expresar un conjunto: a) Por extensión {a, e, i, o, u} b) Por comprensión {x |x ∈ vocales} ó {x |x es una vocal}

1.1. REQUISITOS PARA ARMAR UN CONJUNTO: a) A los elementos hay que agruparlos o coleccionarlos de una manera bien definida. b) Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, si un elemento se repite se debe quitar. c) El orden en que se enlistan los elementos no tiene importancia. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO: a) Se lleva a cabo por medio de letras mayúsculas. b) Se colocan entre llaves { } y separados por comas. c) Se representan con símbolos numéricos, letras minúsculas y la combinación de los dos anteriores. d) La representación gráfica es a través de los diagramas de Venn Euler.

2. CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto que consta de todos los elementos a los que se puede f ó referir una situación en particular. Se denota con la letra Ω . a) El conjunto universal no es único; depende del problema que se esté considerando y puede cambiar según la situación particular de que se trate. b) Aún para un mismo problema el conjunto universal no está definido en forma única; podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad. Una vez que se ha decidido cuál es el conjunto universal ese conjunto. c) Una vez que se ha decidido cuál es el conjunto universal, ese conjunto permanece fijo y todos los demás conjuntos mencionados en la misma discusión se forman con elementos del conjunto universal.

2.1. CONJUNTO FINITO E INFINITO: Un conjunto es finito cuando se puede contar uno a uno hasta alcanzar el último de los elementos que lo forman. Un conjunto en infinito si no se conoce el último elemento que lo forma (porque siempre hay un elemento más que contar)

2.2. CONJUNTO VACIO O NULO: Es el conjunto que no posee elementos y se designa con el símbolo ∅ o por {}. Es importante notar que ∅ es distinto de cero y de {0}. 1. ∅ es un conjunto sin elementos. 2. {0} es un conjunto con un solo elemento, el número cero. 3. Cero es un número y no un conjunto. Usualmente se define a un conjunto vacío recurriendo a un par de condiciones mutuamente contradictorias. El conjunto vacío ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto A, excepto de sí mismo.

2.3. CONJUNTOS DISJUNTOS O AJENOS: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si, no tienen ningún elemento en común.

2.4. PERTENENCIA: Un “conjunto” pretende ser una colección de objetos, y la “pertenencia” pretende ser la relación que puede darse entre un objeto dado y un conjunto dado: si el objeto es uno de los que forman parte del conjunto, se dice que el objeto “pertenece” al conjunto (o que es un elemento del conjunto) y en caso contrario que “no le pertenece”. La relación que existe entre un conjunto y sus elementos se llama pertenencia. Si un elemento pertenece a un conjunto A se escribe como a ∈A. Si no pertenece se escribe como a ∉A.

3. La teoría de conjuntos no es un nuevo planteamiento en la educación matemática, más bien es un sistema que emplea un lenguaje matemático muy específico para dar solución a determinado tipo de problemas.

4. La teoría de conjuntos, en un primer momento, se ocupa del estudio de los conjuntos que se obtienen a partir de los axiomas, considerados como objetos amorfos, i.e., desprovistos de cualquier tipo de estructura, mediante diferentes tipos de morfismos, e.g., relaciones, funciones parciales y funciones.

5. IGUALDAD DE CONJUNTOS: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si sólo tienen exactamente los mismos elementos y se escribe como A=B, si dos conjuntos son iguales esto equivale a decir que realmente no se tiene dos, sino que sólo existe un conjunto con dos nombres diferentes. Es importante observar que no tiene importancia el orden en que se enlistan los elementos en cada conjunto, lo relevante es que tengan exactamente los mismos elementos. Cuando dos conjuntos se encuentran expresados por comprensión, pueden ser iguales, aunque las propiedades que los definan sean diferentes. Propiedades: Reflexiva: A=A Simétrica: A=B implica B=A Transitiva: A=B y B=C se tiene que A=C

5.1. INCLUSION: Inclusión impropia: se dice que para que dos conjuntos A y B la proposición A ⊂ B significa que todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. El símbolo ⊂ se puede leer como ¨Es subconjunto de¨ Inclusión impropia: si A y B son dos conjuntos tales que A es subconjunto de B, y B tiene por lo menos un elemento que no es miembro de A, entonces la relación de inclusión es propia y se simboliza con A ⊂ B. El símbolo se deber leer ¨es subconjunto de¨

5.1.1. CONJUNTO DE PARTES Es el conjunto de todos los subconjuntos de A y se simboliza con P(A). Para conocer el número de elementos del conjunto de partes (A) es con la expresión 2^n, donde n es el número de elementos de A. DIAGRAMAS DE VENN EULER: Son gráficos para representar conjuntos. Se utilizarán áreas rectangulares, ovales y circulares para visualizar los conjuntos. Por ejemplo, el conjunto universal se representa con un rectángulo, dentro del cual se grafican los subconjuntos de este en forma de círculos u óvalos.