ESTADISTICA
por Guillermo Palacios
1. MEDIDAS DE POSICIÓN
1.1. Las medidas de posición forman parte del conjunto de medidas descriptivas numéricas, las cuales se clasifican en parámetros –cuando se calculan a partir de la población total- y los estadígrafos - cuando se calculan a partir de los datos de una muestra. Una medida de posición es un número que se toma como orientación para referirnos a un conjunto de datos. Las Principales Medidas de Posición son: La Media Aritmética, Mediana, Moda, los cuartiles, Deciles y Percentiles.
1.2. MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética ( X ) o simplemente la media es la medida de posición de más importancia y utilización en las aplicaciones estadísticas por su fácil calculo e interpretación. Se trata del valor medio de todos los valores que toma la variable estadística de una serie de datos. La media es el valor más representativo de la serie de valores, es el punto de equilibrio, el centro de gravedad de la serie de datos. Por lo general se le designa con X . LA MEDIANA La mediana es el valor que divide en dos partes iguales, al conjunto de observaciones ordenadas respecto de sus magnitudes, de tal manera que el numero de datos por encima de la mediana sea igual al numero de datos por debajo de la misma. Se designa por las letras Me. Tal como sucede con la media, el método de determinación depende de si los datos son agrupados o no. LA MODA La moda es la medida de posición que indica la magnitud del valor que se presenta con más frecuencia en una serie de datos; es pues, el valor de la variable que más se repite en un conjunto de datos. De las medidas de posición la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener por una simple observación de los datos en estudio, puesto que es el dato que se observa con mayor frecuencia. Se designa con las letras Mo. LOS CUARTILES.- Son medidas posiciónales que dividen la distribución de frecuencia en cuatro partes iguales. Se designa por el símbolo Qc en la que c corresponde a los valores 1, 2 y 3. El Q1 es el valor debajo del cual queda el 25 % de los datos; Q3 deja el 75 % de los datos y Q2 divide la distribución de frecuencia en dos partes iguales, un 50 % que esta por debajo de los valores de Q2 y otro 50 % que esta por encima del valor de Q2. El Q2 es igual a la mediana. LOS PERCENTILES.- Son medidas posesiónales que dividen la distribución de frecuencia en 100 partes iguales. Con estos se puede calcular cualquier porcentaje de datos de la distribución de frecuencia. Los percentiles son las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación de valor de una serie de datos ubicados en una distribución de frecuencia. El número de percentiles de una distribución de frecuencia es de 99. El percentil 50 es igual a la mediana y al cuartil 2, es decir: %50 por encima y 50 % por debajo de los datos de la distribución.
2. CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN
2.1. • Deben ser definidas rigurosamente y no ser susceptibles de diversas interpretaciones. • Deben depender de todas las observaciones de la serie, de lo contrario no seria una característica de la distribución. • No deben tener un carácter matemático demasiado abstracto. • Deben ser susceptibles de cálculo algebraico, rápido y fácil.
3. MÉTODOS GRÁFICOS
3.1. DIAGRAMA DE BARRAS: Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas discretas o para variables cualitativas. En el eje de ordenadas representamos los diferentes valores de la variable (xi). Sobre cada valor levantamos una barra de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa).
3.2. DIAGRAMA DE SECTORES O DE PASTEL: Es el más usual en variables cualitativas. Se representan mediante círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcional a su frecuencia.
3.3. HISTOGRAMA: Es la representación gráfica de las frecuencias agrupadas de una variable continua sobre intervalos. A diferencia de los diagramas de barras, los histogramas dibujan rectángulos unidos entre si, lo que significa que existe continuidad en la variable cuyos valores se representan en el eje horizontal que se haya dividido en intervalos de igual amplitud. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias que representan.
4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.1. Una medida de variabilidad es un numero que nos indica el grado de dispersión en un conjunto de datos. Si el valor es pequeño (respecto de la unidad de medida) entonces hay una gran uniformidad entre los datos (homogénea). Por el contrario, un gran valor nos indica poca uniformidad (heterogénea). Cuando es cero quiere decir que todos los datos son iguales. Las medidas de dispersión se clasifican en dos grupos:
4.2. Medidas de Dispersión Absoluta. Son aquellas que vienen expresadas en las mismas unidades originales que indican la serie de datos. Entre las medidas de dispersión absoluta se encuentran: el rango, el rango intercuartilico, la desviación media, la varianza y la desviación típica. Medidas de Dispersión Relativas. Estas medidas vienen expresadas en valores abstractos o porcentajes; su principal función es la de determinar entre varias distribuciones la de mayor o menordispersión.
4.3. RANGO O RECORRIDO. Es la medida de dispersión mas sencilla y se define como la diferencia entre el valor mas alto menos el valor mas pequeño y se designa por R. Es decir, R = Xmax-Xmin para datos no agrupados. Si los datos están agrupados en K clases el rango será la diferencia entre el limite superior de la K-esima clase menos el limite inferior de la primera clase. RANGOS ESPECIALES El rango nos da una idea de la dispersión total de las observaciones, por lo tanto puede estar afectada por valores extremos dando en consecuencia una idea de alta dispersión. Por tal motivo, se han definido otros rangos que tratan de subsanar este problema. RANGO ÍNTERCUARTILICO. Se define como la diferencia entre el cuartil tres(Q3) y el cuartil uno(Q1) de una distribución de frecuencia y se expresa así: RI = Q3 − Q1. RANGO SEMI-ÍNTERCUARTILICA. Es la diferencia entre el Q3 y el Q1 dividido entre dos: RSI= Q3-Q1/2
5. COMPONENTES DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE CLASES
5.1. Clase o Intervalo de clase.- Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes.
5.2. Punto medio o Marca de clase ( X& ).- Es la semisuma del límite inferior y superior de una clase, tal como lo indica la siguiente formula: Xi=Li-Li-1/2
5.3. Amplitud, Longitud o Tamaño del Intervalo: Los intervalos de clases pueden ser de tres tipos: Clases de igual tamaño, clases de tamaños desiguales y clases abiertas.
6. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS: La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, de acuerdo a la frecuencia de cada dato.
7. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir,los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes reglas generales: • El numero de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los datos. • Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo. • El valor mas pequeño y mas grande deben entrar en la clasificación. • No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas. • Los intervalos no se deben sobreponer. • En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los intervalos. Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes reglas generales: • El numero de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los datos. • Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo. • El valor mas pequeño y mas grande deben entrar en la clasificación. • No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas. • Los intervalos no se deben sobreponer. • En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los intervalos.
8. Es la parte de la estadística que se encarga de organizar, resumir y describir las características principales de los datos. Generalmente se resumen en forma tabular, grafica o numérica.
9. Es la que trata de estimar las características de una población a través del estudio de una muestra.
10. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS: Es la representación estructurada en forma de tabla de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia, es decir, es una tabla que presenta de manera ordenada los distintos valores de una variable y sus correspondientes frecuencias.
11. CONCEPTOS BÁSICOS
11.1. POBLACIÓN: VARIABLE ---->CUALITATIVAS O CATEGORICAS ---->CUANTITATIVAS: aquellas que son medibles, es decir sus observaciones tienen carácter numérico. Se dividen en: discretas y continuas.
11.2. MUESTRA: Es un subconjunto de la población. Se denota por n.
11.3. DATO: Cada valor observado de la variable. Si representamos por X a la variable, representaremos por xi cada dato diferente observado en la muestra, el subíndice “i” indica el lugar que ocupa si los ordenamos de menor a mayor. MEDICIÓN: Se puede definir como la manera de obtener símbolos para representar propiedades de personas, objetos, eventos o estados cuyos símbolos tienen la misma relación relevante entre si igual a las entidades que representan.
12. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
13. ESTADÍSTICA INFERENCIAL
14. ESCALAS DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES
14.1. Las escalas de medición son el conjunto de los posibles valores que determinada variable puede tomar.
14.2. Las escalas de medición sé clasifican de la siguiente forma: Escala Nominal, Escala Ordinal, Escala de Intervalos y Escalas de razón o Proporción.
14.3. ESCALA NOMINAL: Consiste en clasificar a los elementos, personas, animales, etc, asignándoles símbolos o nombres. Ejemplos: Una muestra de personas puede clasificarse con base en la religión profesada: (1) Cristianos; (2) Judíos; (3) Musulmanes; (4) Otros; y (5) Sin Creencia alguna. O bien podrían clasificarse según el sexo, el color de los ojos, algún partido político, etcétera. Otros ejemplos de escala nominal puede ser el numero de placa de los vehículos, los números de los teléfonos de una ciudad, la Cedula de Identidad de los habitantes de un país, etcétera.
15. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.
15.1. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi) Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias acumuladas entre número total de datos. Se designa con las letras Hi .
15.1.1. FRECUENCIA RELATIVA (hi) Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos. Las frecuencias relativas se designan con las letras hi.