Conjuntos

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Conjuntos por Mind Map: Conjuntos

1. Clasificación de conjuntos: sea a un conjunto se pueden dar los siguientes casos

1.1. A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1

1.2. A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.

1.3. A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es ∅. N(A) = 0

1.4. A es UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

2. Conjuntos: es una colección o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida

2.1. Simbología: para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x ∈ A. Para decir que x no está en A, escribiremos x ∉ A.

2.2. Cardinalidad: Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A).

2.2.1. A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal} N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}

2.3. Determinación por:

2.3.1. • Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. • Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. • Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo gráficamente.

3. Cuantificadores: son símbolos que se emplean en los mencionados contextos para poder señalar Cuántos son los tipos de Elementos que integran un conjunto

3.1. Cuantificador Universal: Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.

3.2. Cuantificador Existencial: Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.

3.3. Subconjunto: El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A ⊆ B)⇔∀x[(x ∈A)→(x ∈B)] Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: (A ⊂ B)⇔[(A ⊆ B)∧¬(A = B)]

3.4. Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). P(A) ={B/B ⊆ A} La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2N(A).

3.5. Relaciones entre conjuntos:

3.5.1. Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional, se tiene: (A = B)⇔∀x[(x ∈A)↔(x ∈B)]

3.5.2. Conjuntos disjuntos e intersecantes: Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.

4. Operaciones entre conjuntos: es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos

4.1. Unión entre conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como: A∪B = {x/(x ∈A)∨(x ∈B)}

4.2. Intersección entre conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como: A∩B = {x/(x ∈A)∧(x ∈B)}

4.3. Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se define como: A−B = {x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)}

4.4. Complementación de conjuntos: La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como: AC = {x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)}

4.5. Diferencia simétrica entre conjuntos: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AΔB y se define como: AΔB (A−B)∪(B−A), o también: AΔB = {x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]}