1. COMPETENCIA Y COMPRENSIÓN MATEMÁTICA
1.1. Nociones de competencia y comprensión
1.1.1. la competencia es un rasgo cognitivo y disposicional del sujeto. También que será distinta según el campo profesional, el objeto de saber o la edad. Hablamos así de competencia matemática del ingeniero, del físico, o del estudiante de primaria o secundaria. Vemos que la palabra competencia se refiere a un saber hacer específico. Generalmente tener competencia es equivalente a tener conocimiento práctico sobre algo; se usa habitualmente referido a destrezas manipulativas o procedimentales.
1.1.1.1. En el caso de las matemáticas se podrá hablar de competencias generales, como competencia aritmética, algebraica, geométrica; o más específicas como,competencia para resolver ecuaciones, cálculo con fracciones, etc
1.1.1.1.1. La competencia atiende al componente práctico, mientras que la comprensión al componente teórico del conocimiento.
1.1.1.1.2. La competencia pone en juego conocimientos de tipo procedimental, la comprensión requiere conocimiento conceptual
2. Comprensión instrumental y relacional
2.1. Richard Skemp1 (psicólogo y matemático) analizó la diferencia entre comprensión relacional (saber qué) y comprensión instrumental (saber hacer). Estos dos tipos de comprensión no siempre van unidos.
2.1.1. Al preguntarse si un tipo de comprensión es preferible al otro, Skemp concluye a favor de la comprensión relacional. El conocimiento instrumental implica la aplicación de múltiples reglas en lugar de unos pocos principios de aplicación general, y por tanto puede fallar en cuanto la tarea pedida no se ajuste exactamente al patrón estándar.
2.1.1.1. Estas argumentaciones, presentadas por Skemp en los años setenta, sobre las relaciones entre comprensión instrumental y relacional nos parecen igualmente válidas para las relaciones entre competencia y comprensión entendidas como hemos propuesto en la primera sección.
3. Los objetos de comprensión y competencia
3.1. Nuestras ideas sobre el logro de la competencia y comprensión están, por consiguiente, íntimamente ligadas a cómo concebimos el conocimiento matemático2. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar un modelo útil y efectivo sobre qué entendemos por comprender tales objetos.
3.1.1. Para ello debemos responder a preguntas
3.1.1.1. ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender?
3.1.1.2. ¿Qué formas o modos posibles de comprender existen para cada objeto matemático?
3.1.1.3. ¿Qué aspectos o componentes de la práctica y el discurso matemático es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas?
3.1.1.4. ¿Cómo articular el estudio de sus diversas componentes?
4. ESTUDIO DIRIGIDO DE LAS MATEMÁTICAS
4.1. Llamaremos instrucción matemática o estudio dirigido de las matemáticas a la enseñanza y aprendizaje organizado de un contenido matemático dentro de la clase de matemáticas.
4.1.1. Un supuesto básico del constructivismo piagetiano es el aprendizaje por adaptación a un medio. Ciertamente que el conocimiento progresa como resultado de la construcción personal del sujeto enfrentado a tareas problemáticas. Pero es preciso tener también en cuenta el papel de la interacción entre los propios alumnos y la de éstos con el profesor.
4.1.1.1. La instrucción matemática significativa atribuye un papel clave a la interacción social, a la cooperación, al discurso, y a la comunicación, además de a la interacción del sujeto con las situaciones-problemas. El sujeto aprende mediante su interacción con un medio instruccional, apoyado en el uso de recursos simbólicos, materiales y tecnológicos disponibles en el entorno.
5. DIFICULTADES, ERRORES Y OBSTÁCULOS
5.1. la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la necesidad de identificar los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar sus causas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esa información. El profesor debe ser sensible a las ideas previas de los alumnos y utilizar las técnicas del conflicto cognitivo para lograr el progreso en el aprendizaje
5.1.1. Las creencias del profesor sobre los errores de los alumnos dependen de sus propias concepciones sobre las matemáticas. Aquellos que no han tenido ocasión de conocer cómo se desarrollan las matemáticas, o no han realizado un cierto trabajo matemático piensan que hay que eliminar el error a toda costa. Cambiar su manera de pensar implica un cierto cambio en la relación de dicho profesor con respecto a la actividad matemática.
5.1.1.1. La identificación de tales obstáculos revela complejidades del significado de los objetos matemáticos que pueden pasar inadvertidas. La superación del obstáculo requiere que el alumno construya un significado personal del objeto en cuestión suficientemente rico, de manera que la práctica que es adecuada en un cierto contexto no se use en otro en el que no es válida.
6. ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
6.1. Al reflexionar sobre qué caracteriza a un buen profesor de matemáticas o sobre cómo conducir una clase de matemáticas, es útil analizar algunos documentos preparados sobre esta problemática por asociaciones de profesores
6.1.1. Supuestos de los estándares
6.1.1.1. El currículo matemático propuesto en los "Estándares" trata de fomentar el razonamiento matemático, la comunicación, la resolución de problemas y el establecimiento de conexiones entre las distintas partes de las matemáticas y las restantes disciplinas.
6.1.1.1.1. Para ello se sugiere que:
6.1.1.2. Las oportunidades de los estudiantes para aprender matemáticas dependen del entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan. Lo que los estudiantes aprenden -sobre conceptos y procedimientos particulares así como su capacidad de razonamiento - depende de cómo se implican en la actividad en clase de matemáticas. Su actitud hacia las matemáticas también queda marcada por tales experiencias.
6.1.1.2.1. Cada estudiante puede -y debe- aprender a razonar y resolver problemas, hacer conexiones a través de una rica red de tópicos y experiencias, y a comunicar ideas matemáticas.
7. Entorno
7.1. El profesor de matemáticas es responsable de crear un entorno intelectual en que la norma consista en un serio compromiso hacia el pensamiento matemático, para que el entorno de la clase sea el fundamento de lo que los alumnos aprenden. Mas que un entorno físico, con bancos, cuadernos y posters, el entorno de la clase forma un currículo oculto con mensajes sobre lo que cuenta en el aprendizaje y la actividad matemática
8. APRENDER Y ENSEÑAR MATEMATICAS
8.1. Papel de la resolución de problemas en el aprendizaje significativo
8.1.1. La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al resolver un problema, el alumno dota de significado a las prácticas matemáticas realizadas, ya que comprende su finalidad.
8.1.1.1. El trabajo del alumno en la clase de matemáticas debe ser en ciertos momentos comparable al de los propios matemáticos:
8.1.1.1.1. el alumno investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula, conjeturas)
8.1.1.1.2. trata de probar que su solución es correcta
8.1.1.1.3. construye modelos matemáticos
8.1.1.1.4. usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías
8.1.1.1.5. finalmente reconoce cuáles de estas ideas son correctas- conformes con la cultura matemática-, y entre todas ellas elige las que le sean útiles
8.2. Enseñanza de las matemáticas
8.2.1. La mayor parte de los profesores comparten actualmente una concepción constructivista de las matemáticas y su aprendizaje. En dicha concepción, la actividad de los alumnos al resolver problemas se considera esencial para que éstos puedan construir el conocimiento. Pero el aprendizaje de conceptos científicos complejos (por ejemplo de conceptos físicos o matemáticos) en adolescentes y personas adultas, no puede basarse solamente en un constructivismo estricto. Requeriría mucho tiempo de aprendizaje y, además, se desperdiciarían las posibilidades de poder llevar al alumno rápidamente a un estado más avanzado del conocimiento, mediante técnicas didácticas adecuadas.
8.2.2. La ciencia, y en particular las matemáticas, no se construyen en el vacío, sino sobre los pilares de los conocimientos construidos por nuestros predecesores. El fin de la enseñanza de las matemáticas no es sólo capacitar a los alumnos a resolver los problemas cuya solución ya conocemos, sino prepararlos para resolver problemas que aún no hemos sido capaces de solucionar.
8.2.2.1. Los estudiantes aprenden matemáticas por medio de las experiencias que les proporcionan los profesores. Por tanto, la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes, su capacidad para usarlas en la resolución de problemas, y su confianza y buena disposición hacia las matemáticas están condicionadas por la enseñanza que encuentran en la escuela.
9. NORMAS SOCIOMATEMÁTICAS. CONTRATO DIDÁCTICO
9.1. La clase de matemáticas está con frecuencia regida por "obligaciones" o normas no explícitas entre el profesor y los alumnos. Estas "normas sociales" guían la colaboración de los alumnos, y sus obligaciones, así como su forma de reaccionar ante un error o una indicación del profesor.
9.1.1. Estas normas determinan un microcultura del aula y tienen las siguientes características:
9.1.1.1. Algunas son generales y se pueden aplicar a cualquier disciplina.
9.1.1.2. Regulan el funcionamiento de las actividades docentes y discente
9.2. El "contrato didáctico" regula los derechos y obligaciones del profesor y los alumnos. Es el resultado de un proceso de negociación entre los alumnos, el profesor y el medio educativo. Uno de los componentes esenciales del contrato didáctico son los criterios de evaluación explícitos, pero hay otros no explicitados que sólo se detectan cuando el profesor plantea actividades poco habituales que vulneran las reglas del contrato, lo cual produce el consiguiente desconcierto en los alumnos.
10. Tareas
10.1. Las tareas en que se implican los estudiantes - proyectos, problemas, construcciones, aplicaciones, ejercicios, etc. - y los materiales con los que trabajan enmarcan y centran sus oportunidades para aprender las matemáticas en la escuela.
10.1.1. Dichas tareas:
10.1.1.1. Proporcionan el estímulo para que los estudiantes piensen sobre conceptos y procedimientos particulares, sus conexiones con otras ideas matemáticas, y sus aplicaciones a contextos del mundo real.
10.1.1.2. Pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar destrezas en el contexto de su utilidad
10.1.1.3. Requieren que los estudiantes razonen y comuniquen matemáticamente y promueven su capacidad para resolver problemas y para hacer conexiones.
11. Discurso
11.1. El discurso de una clase - los modos de representar, pensar, hablar, ponerse de acuerdo o en desacuerdo- es central para que los estudiantes comprendan que las matemáticas como un dominio de investigación humana con modos característicos de conocimiento.
11.1.1. El discurso incluye el modo en que las ideas son intercambiadas y lo que implican las ideas: Es conformado por las tareas en las que los estudiantes se comprometen y la naturaleza del entorno de aprendizaje; también influye sobre las mismas.