Equação de 2º grau

1. Para encontrar a solução de uma equação, é preciso analisar se a equação é completa e incompleta e selecionar qual método será utilizado.

2. x2 – 1 = 0 (1)2 – 1 = 0 e (–1)2 – 1 = 0

3. Considerando a equação x2 – 1 = 0 temos que x’ = 1 e x’’ = – 1 são soluções da equação, pois substituindo esses valores na expressão, temos uma igualdade verdadeira.

4. A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos a x . Esses valores de x devem tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o resultado deve ser igual a 0.

4.1. Exemplo

5. A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax2 + bx +c = 0.

5.1. A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

5.1.1. Exemplos a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6 b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2 c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1

6. A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.

6.1. A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.

6.1.1. Exemplos a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4 b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0 c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0

6.1.1.1. o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau.

7. Método de solução para equações do tipo ax2 + bx = 0 O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração por evidência.

7.1. ax2 + bx = 0 x·(ax + b) = 0

7.2. Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0. x·(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0

8. O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:

8.1. Exemplo

8.1.1. Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0. Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: