1. La época heroica
1.1. Centros de actividades: 7 matematicos
1.1.1. sur de Italia: Aquistas de Tarento(nació en 428 a.c). e Hiposo de Metaponto (hacia el 450 a.c). en Abdera de tracia estaba Democrito nacido en 460 a.c). en la peninsula del Atica vivia Hipias de HELLIS (460 A.C. ), en Atenas hacia el siglo V vivieron Hipocrates de Chios ( 430 a.c). Anaxagoras de Clazomene (428 a.c)
1.2. Anaxagoras de Clazomene
1.2.1. Los tres problemas clásicos
1.2.1.1. problema de Delos: dada la arista de un cubo, construir construir usando únicamente la regla y el compas, la arista de otro cubo que tenga volumen doble que del primero
1.2.1.2. trisección del ángulo:. Construir con regla y compas un Angulo igual a un tercio del ángulo dado
1.2.1.3. se ocupo de problemas de cuadratura del círculo, el cuadrado buscado se construiría usando solo regla y compás
1.2.2. murio en el año 428 a.c
1.3. Hipócrates de Chío
1.3.1. La cuadratura de las Lúnulas: segmentos semejantes de circulos están entre si en la misma razón que los cuadrados construidos en sus bases
1.3.1.1. teorema sobre los circulos y cuadrados circunscriptos: Comienza como un semicírculo circunscrito a un triángulo rectángulo isósceles y sobre la base (la hipotenusa) Construye un segmento circular semejante a los segmentos circulares determinado por los catetos del triángulo rectángulo
1.3.1.1.1. figura 6
1.3.1.2. Alejandro de Afridisia: (200 d.c):decribe dos cuadraturas
1.3.1.2.1. Sí construimos tres semicírculos sobre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo isósceles entonces la suma de las lúnulas qué se forman sobre los catetos es igual al triángulo
1.3.1.2.2. Sí construimos sobre el diámetro de un semicírculo como base un trapecio isósceles con los otros tres lados iguales sin se construyen sobre estos tres lados tres semicírculos entonces el trapecio es igual a la suma de 4 figuras curvilíneas
1.3.1.3. cuadratura de lúnula: Se obtiene a partir del trapecio isósceles abcd inscrito en un círculo del cuadrado es construido sobre la base o lado más largo AD sea igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los tres lados iguales más cortos AB BC y CD
1.3.1.3.1. FIGURA 7
1.3.2. las proporciones continuas:
1.3.2.1. Dados dos segmentos a y b se intenta construir otros dos segmentos x e Y tales que a = x = x problema equivalente a la x y b duplicidad del cubo si tomamos b=2a ya que la proporción continua conduce a la eliminación de Y dando como conclusión de que x^3=2a^3
1.4. Hipias de Ellis
1.4.1. La curva de hipias se la suele conocer también como la cuadraTriz dado que puede ser utilizada además para cuadrar el circuló . Se considera un cuadrado abcd en el que el lado AB Se traslada con velocidad uniforme desde su posición inicial hasta llegar a coincidir con de durante el mismo intervalo de tiempo de a gira en sentido de las agujas de un reloj hasta llegar a coincidir con de sí las posiciones de los segmentos se juntan en la intersección de ab con da a lo largo del movimiento será la trisectriz de hipias
1.4.1.1. figura 10
1.5. Filolao y Arquitas de Tarento
1.5.1. A filolao se le atribuye haber escrito la primera exposición del pitagorismo con el misticismo numérico sobre el tetraktys y el conocimiento cosmológico pitagórico
1.5.2. Arquitas escribió sobre las medidas aritméticas situó la aritmética por encima de la geometría las y clasificó las 4 ramas matemático
1.5.2.1. La aritmética: que estudia los números en reposo. la geometría: que estudia las magnitudes en reposo. la música: que estudia los números en movimiento y la astronomía: que estudia las magnitudes en movimiento
1.5.3. la duplicacion del cubo:
1.5.3.1. Propuso una solución tridimensional del problema de delos utilizando el lenguaje de la geometría analítica moderna: sea a la Arista del cubo que hay que duplicar y considérese tres circunferencias de radio a con centro en el punto (a,0,0) y situadas cada una de ellas en un plano perpendicular a uno de los ejes de coordenadas
1.5.4. los inconmensurables:
1.5.4.1. está reconocimiento tuvo lugar en la conexión con la aplicación del teorema de Pitágoras al ángulo rectángulo isósceles y Aristóteles mencionó no demostración de la inconmensurable dad de la diagonal de un cuadrado con respecto al lado indicando que se basaba en la distinción entre lo par y lo impar
1.5.4.1.1. demostración: Sean D y S la diagonal y el lado de un cuadrado y supongamos que son conmensurable dónde p y q son enteros sin factores comunes, luego que d^2=s^2+s^2, luego (d/s)^2=p^2/q^2=2, o bien p^2=2q^2, por lo tanto P^2 debe ser un numero par, luego p ha de ser un numero par, entonces q debe ser impar. sea p=2r sustituyendo en la ecuación p^2=2q^2 tenemos 4r^2=2q^2, luego q^2=2r^2 y por lo tanto q debe ser par, sin embargo Q debía ser impar, por lo tanto por el método de demostración indirecta que la hipótesis de que D y S eran conmensurables es falsa.
1.6. la sección áurea: Sí trazamos 5 diagonales de un pentágono regular estas diagonales forman otro Pentágono regular más pequeño y a su vez las diagonales de este segundo Pentágono forma de un tercer Pentágono regular Qué es más pequeño una este proceso puede continuarse indefinidamente
1.6.1. figura 11
1.6.2. Una demostración geométrica parecida a la razón de la diagonal de un pentágono regular a su lado se puede obtener también para la razón de la diagonal al lado un cuadrado, dado su cuadrado abcd si llevamos sobre la diagonal AC un segmento AP = AB y en P levantamos la perpendicular PQ entonces la razón de CQ a PC será la misma que la razón de AC a AB este proceso también puede continuarse indefinidamente
1.6.2.1. figura 12
1.7. la paradoja de Zenón: (ca. 450 a.c) propuso una serie de conceptos para demostrar la inconsistencia de la multiplicidad y divisibilidad
1.7.1. método dialéctico y al imposibilidad del movimiento
1.7.1.1. La dicotomía: Antes de que un objeto en movimiento puede recorrer una distancia dada debe de recorrer la mitad de esta distancia Pero antes debe recorrer el primer cuarto de la distancia y anteriormente el primer octavo y así indefinidamente
1.7.1.2. La de Aquiles: La subdivisión indefinida es en sentido progresivo en vez de regresivo
1.7.1.3. la de la flecha: Un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo y que lo que siempre ocupa un lugar igual a sí mismo no puede estar en movimiento
1.7.1.4. la del estadio: Sean A B y C y A sean cuatro cuerpos de igual tamaño en reposo y b cuerpo del mismo tamaño que los de A y que se mueven las a la derecha uniformemente de manera que B adelanta a cada a exactamente en un instante Mientras más pequeño sea el intervalo de tiempo o indivisible y sean se cuerpos también del mismo tamaño que los de a y b y que se muevan uniformemente acelerado con respecto a los de manera que cada uno de los se adelanta 1 de C en un instante indivisible en el tiempo
1.7.1.4.1. figura 13
1.7.1.4.2. figura 14
1.7.2. el razonamiento deductivo: se dio hacia finales del siglo V a.c. Basado en la transformación de las reglas matemáticas empíricas de los pueblos helénicos en la estructura deductiva formal que aparece por primera vez en Grecia
1.8. El algebra geometrical
1.8.1. basado en la forma canónica Mesopotámica : x·y=A, X+Y=B deberán ser interceptadas geométricamente
1.8.1.1. aplicación de areas: eliminando Y hay que construir sobre el segmento B un rectángulo cuya altura desconocida x debe ser tal que el Angulo del rectángulo acceda del área A al lado X .
1.8.1.1.1. FIGURA 15
1.8.1.1.2. la ecuación lineal ax=bc paso a considerarse como como la igualdad entre las dos razones a:b y c:x . lo que se solía hacer era la cuarta proporcional x y construir un rectángulo OCDB de lados OB=b y OC=c.
1.8.1.2. Identidad: el rectángulo determinado por la suma de los segmentos b,c y d e igual a la suma de los rectángulos separados determinados por a y por cada uno de los segmentos b,c y de tomados por separado
1.8.1.2.1. figura 17
1.8.1.2.2. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
1.8.1.3. diferencia de cuadrados: (a+b)(a-b). con la regla y compas pueden pueden construirse sumas , diferencias productos y cocientes de segmentos
1.8.1.3.1. figura 19
1.9. Demócrito de Abdea
1.9.1. (ca 460 a.c . a 370 a. c)se baso en la teria fisica del atomismo. Todos los fenómenos hay que explicarlos en términos de átomos infinitamente pequeños e infinitamente variados tanto en forma como en tamaño
1.9.2. Prisma triangular : Puede descomponerse en tres pirámides triangulares que tienen dos a dos igual altura igual área de la base a partir de la hipótesis de que dos pirámides de base iguales y la misma altura son iguales este pote sí solo puede justificarse por la aplicación de técnicas infinitesimales
2. LA EPOCA DE PLATON Y ARISTÓTELES
2.1. LAS SIETE ARTES LIBERALES
2.1.1. formados por cuadrivium de Arquitas, el trívium formado por la gramática, la retorica y la dialéctica de Zenón transmitidas por los randes filosofos del siglo IV a.c
2.2. los solidos platonicos
2.2.1. Entre la muerte de Sócrates en el 399 a.c y la muerte de Aristóteles en 322 a.c tomaron notoriedad estos matemáticos: Teodoro de cirene 390 a.c, teeteto 369 a.c, eudoxo 355 a.c , menecmo 350 a.c y su hermano dinostrato 350 a.c y autolico de pitania 330 a.c
2.2.2. Platón considero al poliedro El quinto y último sólido regular como símbolo del universo han sido llamado cuerpos cósmicos o sólidos platónicos
2.2.2.1. figura 20
2.2.2.2. Teetero realizo el estudio más sistémico de los cinco poliedros regulares y los cálculos de las razones de las aristas de los sólidos regulares al radio de la Esfera circunscrita
2.2.2.2.1. cuadrado: √ 3 √ 5 son inconmensurables en longitud pero son conmensurables en cuadrado.
2.2.2.3. Teodoro de Cirene: Fue el primero en demostrar la irracionalidad de las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos desde el 3 al 17, ambos incluidos.
2.3. La aritmética y la geometría platónica: La distinción Qué hizo la antigua Grecia entre aritmética en el sentido de la teoría de los números y logística o técnica de la computación
2.3.1. Platón consideraba la logística como conveniente para el comerciante o para el hombre de guerra
2.3.2. numero platónico: es el 60^4= 12,960.000
2.3.3. numero nupcial platonico: 5.040 ( es decir 7·6·5·4·3·2·1)
2.3.4. glorifico al triangulo: Cada una de las cuatro caras del tetraedro estaba formada por seis triángulos rectángulos más pequeños que se obtienen al trazar las tres alturas del triángulo equilátero o cara en cuestión, el tetraedro regular quedaba descompuesto de 24 triángulos rectángulos escalenos en cada uno de los cuales la hipotenusa es el doble que uno de los catetos, el octaedro regular queda descompuesto de una manera análoga en 6 * 8 = 48 triángulos del mismo tipo y el icosaedro en 20 · 6 = 120 triángulos
2.3.5. Consideraba al decaedro como formado por 360 triángulos rectángulos escalenos que se obtienen al trazar en cada cara pentagonal las 5 diagonales y las 5 medianas de manera que cada una de las 12 caras queda descompuesta en 30 triángulos rectángulo
2.4. el origen del análisis: Los pitagóricos habían definido al punto como una unidad dotado de posición pero Platón prefirió considerarlo como el comienzo de una línea, la definición de una línea como longitud sin anchura. subrayo la distinción entre números pares e impares y las categorías par por par, impar por par e impar o impar
2.4.1. la formula para construir ternas pitagoricas: (2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2
2.5. Euxodo de Cnido:
2.5.1. Dio una definición nueva universalmente aceptada de igualdad de dos razones esta idea de razón excluye al cero y clarifica lo que debe entenderse por magnitudes del mismo tipo un segmento no puede compararse en términos de razón con un área y un área puede compararse con un volumen
2.5.1.1. a=c b d ,si y solo si dados dos números. naturales cualesquiera m y n si ma es menor a nb entonces mc es menor a nd, o si ma=nb entonces mc=nd , o bien si ma es mayor a nb entonces mc es mayor a nd
2.5.2. el método de exhauscion:las áreas de los círculos son entre sí como las de los cuadrados construidos sobre sus diámetros.
2.5.2.1. figura 21
2.5.2.2. teorema para demostrar las areas y volúmenes de figuras curvilíneas.:Lim n->inf M(1-R)^n=0
2.5.3. La astronomia matematica:
2.5.3.1. Dio a cada uno de los siete cuerpos celestes una representación por medio de un sistema de esferas concéntricas con centros en el centro de la tierra y de radios variables en el que cada esfera giraba uniformemente alrededor de un eje fijo con respecto a la superficiel áspera siguiente en tamaño de menor a mayor
2.5.3.2. Calculo que el diámetro del sol era 9 veces el de la Tierra con su esquema astronómico describió los movimientos circulares de órbita usando una curva llamada el hipopede o grillete de caballo
2.6. Menecmo
2.6.1. Descubrió las curvas a los cuales se le dieron los nombres de eclipse, parábola e hipérbola
2.6.1.1. Al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus elementos ojera tristes la curva de intersección es tal que su ecuación puede escribirse en la forma y^2 = lx donde el es una constante qué depende de la distancia del vértice del cono al plano de la intersección
2.6.1.1.1. figura 22 (6.2)
2.6.2. la duplicacion del cubo.:
2.6.2.1. a=x=y x y 2a usando notación moderna
2.6.2.1.1. figura 23 (6.3)
2.6.2.2. usando una hipérbola rectangular y una parábola : situando el mismo sistema de coordenadas la parábola de la ecuación Y^2=a/2.x y la hipérbola xy=a^2
2.7. Dinostrato y la cuadratura del círculo
2.7.1. afirma que el lado a del cuadrado es la media proporcional entre el segmento DQ y el arco del cuarto de circunferencia AC, o sea, AC/ AB= AB/ DQ
2.7.1.1. figura 24 (6.4)
2.8. Autolico de Pitania
2.8.1. Tratado de la esfera en movimiento No es profundo ni novedoso pero demuestra el gran desarrollo de la geometría griega, como típica de la época clásica.
2.9. Aristóteles
2.9.1. No hizo aportes técnicos matemáticos pero fue un promotor del desarrollo matemático, estaba al corriente de los descubrimientos.
2.9.2. final del periodo helenico
2.9.2.1. Año 323 a. C muere Alejandro Magno y con esto se da fin al periodo Helénico.
3. Arquímedes de Siracusa
3.1. NACIO 287 AC, muere 212 AC, a sus 75 años aprox. lo matan los romanos, vivió y murió en Siracusa pero estudia en Alejandría. ( en la segunda guerra de Siracusa que se da entre roma y Cartago
3.2. la ley de la palanca
3.2.1. Los cuerpos bilateralmente simétricos están en equilibrio en virtud del axioma de Arquímedes por la simetría del sistema
3.2.1.1. □___□__□
3.2.1.2. LIBRO 1: FIGURAS RECTILINEASS, CALCULOS DE CENTROS DE GRAVEDAD DEL TRIANGULO y el trapecio.
3.2.1.3. LIBRO 2: cálculos centro gravedad de un segmento parabólico
3.3. el principio hidrostático
3.3.1. La naturaleza de la presión de fluido obtiene algunos resultados muy profundos conocido como principio hidrostático de Arquímides
3.3.2. inventó un mecanismo que se conoce como tornillo de Arquímedes formado por un tubo de forma helicoidal cilíndrica que se hace girar por medio de una manivela en torno a un eje manteniéndola inclinado
3.4. el arenario
3.4.1. Sistema astronómico que sugiere que las posiciones relativas de las estrellas fijas deberían cambiar al desplazarse la tierra muchos millones de millas a su movimiento alrededor del sol
3.4.1.1. Este sistema permitía remontarse hasta una miríada de miríada de unidades del orden del período y número que se escribía en base 10 como un uno seguido por unos 80 mil millones de millones de cifras
3.5. las medidas del circulo
3.5.1. Partiendo del hexágono regular inscrito en la circunferencia Calcula los perímetros de Los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar al polígono regular de 96 lados
3.5.1.1. figura pagina 171
3.6. la trisecion del ángulo
3.6.1. ecuacion de espiral ordenada.: r=ao
3.6.1.1. figura 32 (8.2)
3.6.2. para cuadrar al círculo
3.6.2.1. figura 33(8.3)
3.6.2.2. tg=r/r donde r=f(o)
3.7. el área del segmento parabólico
3.7.1. figura 33 (8.4)
3.8. el volumen de un segmento paraboloide
3.8.1. FIGURA 34(8.5)
3.8.2. pagina 176
3.9. el segmento esférico
3.9.1. integración de la función seno
3.9.1.1. figura 35 (8.6)
3.9.1.2. figuras pag. 178
3.10. la esfera y el cilindro
3.10.1. 4a^2=(3a-x)(m+n) x^2 ma .donde m/n es la razón de los segmentos (ecuación cubica)
3.11. el libro de los lemas
3.11.1. Figuras amada arbelos o cuchillo de zapatero es la región del plano limitada por tres semicírculos tangentes dos a dos tal cómo aparece en la figura
3.11.1.1. figura 36( 8.7)
3.11.2. Teorema de Salina o bodega de sal dibujos 4 semicircunferencias de diámetro AB,AD,DE, Y EB de manera que AD=EB Entonces el área total limitada por el salinon es igual al área del círculo que tiene como diámetro al eje de simetría FOC
3.11.2.1. figura 37 (8.8)
3.12. los solidos semirregulares
3.12.1. Descubrió todos los 13 posibles sólidos semirregulares mientras un sólido Regular o poliedro regular tiene como cara polígonos regulares del mismo tipo un sólido semi regular es un poliedro convexo cuyas caras son también polígonos regulares pero no todos del mismo tipo
3.12.2. teorema de la cuerda rota
3.12.2.1. figura 38(8.6)
3.13. el método
3.13.1. Descubierto a comienzos del siglo 20 perdido Desde los primeros siglos de nuestra era hasta su redescubrimiento en 1906
3.13.2. En la proposición 1 Explica cómo llego a descubrir este teorema pesando segmentas rectilíneos tal como uno compara pesos de cuerpos sólidos en mecánica
3.13.2.1. figura 39 (8.11)
3.14. El volumen de la esfera
3.14.1. teorema de la propiedad de equilibrio
3.14.1.1. figura 40 (8.12)
4. LA TRIGONOMETRÍA Y LAS TÉCNICAS DE MEDICIÓN GRIEGAS
4.1. LA TRIGONOMETRÍA Y LAS TÉCNICAS DE MEDICIÓN GRIEGAS
4.1.1. un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos correspondientes) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden
4.2. ARISTARCO DE SAMOS
4.2.1. un tratado de Aristarco, escrito titulado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna,
4.2.1.1. cuando la Luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y la visual dirigida al centro de la Luna es menor que un ángulo recto en un treintavo de cuadrante
4.2.1.1.1. En el lenguaje trigonométrico actual esto viene a significar que la razón de la distancia de la Luna a la Tierra, a la distancia del Sol a la Tierra, es decir, la razón de ME a SE es igual a sen 3°.
4.2.1.1.2. teorema geométrico bien conocido en su época y que hoy lo expresaríamos por medio de la cadena de desiguales trigonométricas.
4.3. ERATÓSTENES DE CIRENE
4.3.1. A partir de la igualdad de los ángulos correspondientes S AZ y S"OZ , resulta claramente que la circunferencia de la tierra debe ser igual a 50 veces la distancia entre Syena y Alejandría. Esto supone un perímetro de unos 250.000 estadios, es decir, 46.000 kilómetros.
4.3.2. conocido en la matemática también por la criba de Eratóstenes, un método sistemático para ir aislando progresivamente los números primos
4.3.2.1. la sucesión de todos los números naturales ordenados de manera creciente, se van suprimiendo un número si y otro no a partir del dos, cada tercer número (en la sucesión inicial) a partir del tres, cada quinto número a partir del cinco, y se continúa de la misma manera suprimiendo cada n-ésimo número a partir del número n.
4.4. HIPARCO DE NICEA
4.4.1. la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de Nicea (ca. 180-ca. 125 aC.), que se ganó así a pulso el derecho a ser conocido como <el padre de la trigonometría>.
4.4.2. en el campo de la astronomía
4.4.2.1. organizar y ordenar los datos empíricos obtenidos de los babilonios, la de redactar un catálogo de estrellas, la de mejorar el cálculo de algunas constantes astronómicas importantes, tales como la duración del mes y del año, el tamaño de la Luna y el ángulo de oblicuidad de la eclíptica, y, por último, el descubrimiento del fenómeno de la precesión de los equinoccios.
4.5. MENELAO DE ALEJANDRÍA
4.5.1. (ca. 100)
4.5.1.1. En el Libro I establece Menelao las bases para un estudio de los triángulos esféricos análogos
4.5.1.1.1. teorema: para todo triángulo esférico ABC se tiene A+B+C>180.
4.5.2. El Libro III
4.5.2.1. teorema de Menelao, formando parte de lo que esencialmente es trigonometría esférica en la forma típicamente griega,
4.5.2.1.1. lemas precios
4.6. EL ALMAGESTO DE PTOLOMEO
4.6.1. teorema de Ptolomeo. Si ABCD es un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia, entonces AB-CD+BC-DA-AC-BD, es decir, la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero con cíclico convexo es igual al producto de las dos diagonales.
4.6.1.1. FIGURA (10.7)
4.6.2. Otro caso especial del teorema general de Ptolomeo, es aquel en el que un lado, digamos AD, e un diámetro del círculo.
4.6.2.1. si AD=2r, tenemos 2rBC+AB•CD=AC•BD, Llamando al arco BD=2a y al arco C=2b, entonces BC=2r•sen (a-b), AB=2r•sen (90-a), BD=2r•sen a, CD=2r•sen b y AC=2r• sen( 90 -b).Por lo tanto, el teorema de Ptolomeo conduce en este caso al resultado sen (a-b)=sen a •cos b -cos a• sen b.
4.6.3. OTRAS OBRAS DE PTOLOMEO
4.6.3.1. La Geografía de Ptolomeo introdujo el sistema de longitudes y latitudes.
4.6.3.2. En el Analemma se explica la proyección ortográfica
4.6.3.3. En su Planisferio describe la proyección estereográfica
4.6.3.4. escribió también una Óptica . Esta obra trata de la física y de la psicología de la visión
4.6.4. HERÓN DE ALEJANDRIA
4.6.4.1. Área de un trianguló: K=\| s(s-a)(s-b)(s-c) donde a, b y c son los lados del triángulo y s el semiperímetro.
4.6.4.2. la ley de la reflexión de la luz
4.6.4.2.1. Es decir, si un haz de rayos luminosos parte de un foco S, se refleja en un espejo MM' y se dirige después hacia el ojo de un observador.
5. jonia y los pitagóricos
5.1. los orígenes del mundo griego
5.1.1. surgimiento de nuevas culturas a lo largo del mar mediterráneo, su historia se remonta al segundo milenio A. C tomaron de los fenicios un alfabeto existente y le añadieron vocales, originado entre el mundo babilónico y egipcio y difundido por mercaderes y como resultado dio comienzo a la matemática griega
5.1.2. ubicado entre los mares Egeo y jónico HACIA EL 600 A.C .a lo largo del mar negro y mediterráneo, sitio donde surgió la nueva corriente matemática
5.1.3. Tales de Mileto: predijo el eclipse en el año 585 a.c. al rededor de los 40 años, fue el primero de los 7 sabios griegas
5.1.3.1. teorema de Tales: un Angulo inscrito en una semicircunferencia es un Angulo recto
5.1.3.2. teoremas demostrados:
5.1.3.2.1. todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro -los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales - los ángulos Opuestos por el vértice que se forman al cortarse Dos rectas son iguales - si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro Entonces los dos triángulos son congruentes. tales midió la altura de las pirámides de Egipto observando las longitudes de sus sombras.
5.1.3.3. midió las alturas de las pirámides e Egipto observando las longitudes de sus sombras en el momento en que la sombra proyectada por un palo vertical era exactamente igual a su altura
5.1.4. Pitágoras de Samos: profeta y místico nacido nacido en las islas de Dodecaneso. fundo la sociedad secreta con bases matemáticas y filosóficas, asumiedolo como base moral de la vida
5.1.4.1. Pentagrama Pitagórico. procedente de los babilónicos: Sí comenzamos por un pentágono regular abcde y trazamos 5 diagonales está se cortaran en los puntos a' b' c' d' e' qué forma otro Pentágono regular. en cada caso uno de estos puntos divide a una diagonal en dos segmentos distintos, conocida como sección áurea de un segmento
5.1.4.1.1. archivo
5.1.4.1.2. propiedad de la sección aurea: a:x=x:(a-x)donde multiplicando medios y extremos obtenemos la ecuación x^2=a^2-ax( ecuación cuadrática del tipo 1)
5.1.4.2. Elementos de Euclides : para dividir un segmento AB se constituye el cuadrado ABcd DEL LADO AB , divide AC en dos partes iguales mediante el punto E ,traza el segmento EB y extiende el segmento CEA hasta F entonces EF=EB y obtiene el punto H . mostrando que AB:AH=AH:HB
5.1.4.2.1. figura 3
5.1.5. El mistisismo numerico:Arquitas de Tarento(428-365 a.c) afirmo que solo la aritmetica daba daba demostraciones satifactorias insistiendo en una teoria pitagorica ortodoxa
5.1.5.1. los pitagicos llevaron llevaron el culto del numero a su extremo basando en el su filosofia como su metodo de vida
5.1.5.1.1. El número 1 es un generador de los números y el número de la razón, el número 2 es el primer número par o hembra y el número de la opinión, 3 es el primero macho y representa la armonía ,cuatro es el número de la justicia ,cinco del matrimonio y el más sagrado del número 10 o tetractis qué representaba el número del universo y la suma de todas las dimensiones geométricas.
5.1.6. Aritmética y cosmología: la aritmética era consagrada como una unificación de todos los aspectos del mundo, por medio de diagramas formados por puntos asociaron el numero a la extensión geométrica que llevo a una aritmética de los cielos
5.1.7. la hipótesis de del movimiento circular uniforme formulado por pitagoricos predomino el pensamiento astronomico por mas de 2000 años
5.1.8. Los numeros figurados; Es posible construir triángulos con un número de puntos mayor como 6 o 10 o 15 puntos los números tales como 3 6 10 15 y en general los números dados por la fórmula
5.1.8.1. N=1+2+3+...+n=n(n+1) 2 Recibieron el nombre de números triangulares del diseño triangular que representa al número 10 la sagrada tetractis
5.1.8.1.1. En la que cada una de los números impares aparecen sumados se consideraba como una distribución de puntos en forma de gnomon (antiguo reloj babilonico)dando lugar a lo q los griegos llamaron número oblongo que es el doble de un número triangular .
5.1.8.1.2. la distribución de puntos pentagonales dados
5.1.8.1.3. N=1+4+7+..+(3n-2)=n(3n-1)
5.1.8.1.4. 2
5.1.8.1.5. y los números hexagonales se obtienen de
5.1.8.1.6. N=1+5+9+...+(4n-3)=2n^2-n
5.1.8.1.7. figura 4
5.1.9. y así obteniendo números poligonales de todos los órdenes
5.1.10. El sistema de numeración ático: en el siglo VI y V a.c. existieron dos sistemas de numeración en Grecia
5.1.10.1. sistema de notación ático o heredianito es un sistema antiguo que se encuentra en las numeraciones jeroglíficas egipcias y en numerales romanos se utilizaban un sistema de palotes par el 4, y letras mayúsculas para la denominación de números. las inscripciones aparecen desde 454 al 95 a.c
5.1.10.2. sistema de numeración jónico o alfabético: utilizado durante el siglo V a.c. . este esquema requiere 27 letras del alfabeto,9 para los enteros menores que 10 y 9 para los multiplos de 100 menores que 1000
5.1.10.2.1. el alfabeto griego clásico contiene solo 24 letras por lo que se hizo un alfabeto mas antiguo que incluía tres letras arcaicas adicionales
5.1.11. Aritmética y logística: los conocimientos de la matemática del 600 al 450 a.c son inseguros , Heródoto en el siglo V a.c decía que calcular con piedrecillas era lo mismo que hacían los griegos al mover la mano de izquierda a derecha
5.2. La teoría de proporciones: si b es la medida entre a y c con a mayor c entonces las tres cantidades están relacionadas con las ecuaciones
5.2.1. b-a=a c-b a b-a=a c-b b b-a=a c-b c b-a=c c-b a b-a=b c-b a
5.2.2. b-a=c c-b b c-a=c b-a a c-a=c c-b a c-a=b b-a a c-a=b c-b a
6. EUCLIDES DE ALEJANDRIA
6.1. El autor de los elementos
6.1.1. Autor de aproximadamente una docena de tratados que cubrían ampliamente materias variadas desde óptica astronomía música y mecánica hasta ahora Libra sobre la sección canónica las obras que sobrevivieron son tratados de matemáticas griegas más antiguas existentes
6.2. otras obras: Hasta nuestros días son sobrevivido 5 obras de Euclides los elementos los datos la división de figuras los fenómenos y la óptica
6.2.1. La óptica de Euclides es notable por su adopción de una teoría de emisión de la visión según la cual el ojo envía Rayos que viajar hasta el objeto
6.2.1.1. figura 25 (7.1)
6.2.1.2. figura 26(7.2)
6.3. La finalidad de los elementos
6.3.1. Cubría la matemática elemental es decir la aritmética, la geometría sintética y el álgebra
6.4. Definición y postulados
6.4.1. Los elementos están divididos en 13 libros de los cuales la primera media docena son sobre geometría plana elemental, los tres siguientes sobre teoría de números, el libro x sobre los inconmensurables y los tres últimos sobre geometría de sólidos
6.4.2. los postulados:1- Trazar una recta desde un punto a otro cualquiera;2- prolongar una línea recta finita de manera continua a otra línea recta;3- describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio; 4-que todos los ángulos rectos son iguales;:5- si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos las dos líneas rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos
6.4.2.1. figura 27 (7.3)
6.5. el contenido del libro 1:
6.5.1. proposiciones básicas de la geometría, entre ellas la congruencia de triángulos sin axiomas que justifiquen el método de superposición, construcciones elementales con regla y compás, desigualdades relativas a ángulos y lados de un triángulo, propiedades de las rectas // y de los paralelogramos. Finaliza con teorema de Pitágoras y su recíproco
6.5.1.1. figura 28(7.4)
6.6. El algebra geométrica
6.6.1. contenido del libro II
6.6.1.1. Sí tenemos dos líneas rectas y cortamos una de ellas en un número cualquiera de segmentos Entonces el rectángulo contenido por las dos líneas rectas = los rectángulos contenidos por las línea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores
6.6.1.1.1. AD(AP+PR+RB)=AD·AP+AD·PR+AD·RB
6.6.1.2. Diagrama de Euclides. AC=CB=a y CD=b entonces el teorema nos dice que (a+b)·)a-b)+b^2=a^2
6.6.1.2.1. figura 30 (7.6)
6.6.1.3. sección aurea. : completa el gnomon BCDFGH añadiendo el punto L para completar el rectángulo CDFL y dentro del rectángulo menor LBGH construimos el gnomon LBMNOG semejante al BCDFGH tomando GO=GL
6.6.1.3.1. figura 31(7.9)
6.6.2. los libros III Y IV .:
6.6.2.1. Libro lll: Sí desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante Entonces el cuadrado construido sobre la tangente es igual al rectángulo contenido por la secante completa y su segmento exterior al círculo
6.6.2.2. Libro lV: contiene 16 proposiciones relativas a figuras inscritas y circunscritas a una circunferencia
6.6.3. libro V :
6.6.3.1. Proposiciones equivalentes a la propiedad distributiva por la izquierda y por la derecha de la multiplicación respecto de la suma. la distributividad por la izquierda de la multiplicación con respecto ala resta y la propiedad asociativa de la multiplicación (ab)c = a(cb)
6.6.4. libro VI:
6.6.4.1. generalización del método de aplicación de áreas
6.6.4.1.1. soluciones geométricas. bx=ac+x^2
6.6.5. La teoría de los números
6.6.5.1. libro VII. constituida con dos preposiciones , las llamadas algoritmo de Euclides. para hallar el máximo común divisor de dos números dados
6.6.5.2. Libro VIII:
6.6.5.2.1. Preposiciones de números en proporción continua con propiedades sencillas de los cuadrados y los cubos terminando con la proposición 27 números sólidos semejantes tienen uno a otro la razón de un número cúbico a otro número cúbico
6.6.6. Números primos y perfectos:
6.6.6.1. La proposición 35 del libro IX contiene una fórmula para hallar la suma de números en progresión geométrica:
6.6.6.1.1. figura pag 158
6.6.6.2. Números perfectos. sí Tenemos tantos números como queramos Comenzando por la unidad y dispuesto en proporciones doble continua hasta que su suma sea primo y se multiplica se suma por el último Entonces el producto obtenido será un número perfecto
6.6.6.2.1. si S=1+2+2^2+...+2^N-1=2^N-1 ES PRIMO , ENTONCES 2^N-1(2^n-1) es perfecto
6.6.7. libro X
6.6.7.1. trata la clasificación sistemática de los segmentos inconmensurables. irracionales cuadráticos.
6.6.8. La geometría de los sólidos
6.6.8.1. Libro XI
6.6.8.1.1. Con 18 proposiciones se refieren a todas las medidas de una figura utilizando el método de exhaución asegurando que las áreas del círculo están entre sí en la misma razón que los cuadrados sobre sus diámetros
7. APOLONIO DE PERGA
7.1. edad de oro de la matemática griega desde 300 al 200 a.c.
7.2. nace en 162 y muere en 190 a.c
7.2.1. expresaba numeros grandes utilizando los equivalentes a los exponentes de mirada simple
7.3. el gran geometra
7.3.1. un libro perdido fue el “ REPARTO RAPIDO” enseñan métodos rápidos de calculo y daba una mejor aproximación de l numero PI ( 3.1416…)
7.4. lugares planos: *lugar geométrico de los puntos , la diferencia de lo cuadrados de sus distancias a 2 puntos fijos constantes , es una recta perpendicular a la que determinan esos 2 puntos
7.5. 3 problemas que se resuelven mediante ecuaciones cuadráticas
7.5.1. seccion en una razon dada : trataba casos de un problema general, 2 rectas y un punto sobre cada una de ellas, trazar por un tercer punto dado una recta que corte a los anteriores en segmentos.
7.5.2. sección en un área dada: igual al anterior pero que los segmentos formen un rectángulo equivalente al otro
7.5.3. sección determinadas:
7.5.4. tangencias: problema de Apolonio dado 3 elementos ( punto , recta o circunferencia) trazar una circunferencia que sea tangente a esos 3 elementos
7.5.5. inclinación: problema de NEUSIS, resuelto por métodos planos ( regla y compas) trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada hacia un punto dado.
7.6. ciclos y epiciclos
7.6.1. representación de los movimientos de los planetas
7.6.1.1. figura 41 (9.1)
7.6.2. El con no necesita hacer un cono recto tal que su eje sea perpendicular al plano de su base circular sino que puede Igualmente tomarse de entrada un cono circular oblicuo o escaleno sustitución cono de una sola hoja por un cono de dos hojas parecidos a un par de conos de helados indefinidamente largos y orientados en Sentidos opuestos de manera que sus vértices coinciden y sus ejes estén sobre una misma recta
7.7. el cono de dos hojas
7.7.1. Todo con o circular oblicuo tiene un sistema infinito de secciones circulares paralelas a la base y también otro conjunto infinito de secciones circulares heredadas por todas las secciones subcontrarias
7.7.1.1. figura 40 (9.2)
7.7.1.2. demostración a partir de una semejanza de triángulos: los HMD y EMK; se sigue que HM·MK=DM·ME=PM^2, PROPIEDAD CARACTERISTICA DE UNA CIRCUNFERENCIA
7.7.1.3. en lenguaje de geometría analítica: HM=a y PM = y , entonces Y^2=x(a-x) o bien x^2+y^2=ax que es la ecuación de una circunferencia
7.8. las propiedades fundamentales
7.8.1. lugares planos( líneas rectas y circunferencias)
7.8.2. *lugares solidos ( secc. cónicas)
7.8.3. *lugares lineales ( curvas restantes)
7.8.4. figura 41(9.3)
7.9. diámetros conjugados
7.9.1. obtenía curvas mediante un cono en el espacio tridimensional, pero con el tiempo se liberó del cono y mediante sus consideraciones estereométricas sobre el cono, toma las coordenadas de un punto de la curva en el plano, utilizando 3 ecuaciones
7.9.1.1. y^2=lx- b^2.x^2 a^2
7.9.1.2. y^2=lx
7.9.1.3. y^2=lx+b^2.x^2 a^2
7.10. tangentes y división armónica
7.10.1. diámetros conjugados y tangentes
7.10.1.1. figura 41(9.4)
7.10.2. división armónica
7.10.2.1. figura 42 (9.5)
7.11. lugar geométrico determinado por tres o cuatro rectas
7.11.1. dada las rectas en un plano encontra un punto p que se mueve q se mueve de tal manera que el cuadrado de la distancia de p a una de esas rectas es proporcional al producto de las otras dos rectas
7.11.1.1. figura pagina 202
7.12. intersecciones cónicas( libro 4): cuantas maneras diferentes de cortarse las secciones del cono, considera a la hipérbola como una curva de 2 ramas
7.13. segmentos máximos y mínimos( libro 5): máximos y min trazados respecto a una cónica que en realidad son teoremas sobre tangentes y normales
7.13.1. figura 43 (9.6)
7.14. cónicas semejantes( libre 6): son semejantes si las ordenadas trazadas al eje a distancias proporcionales del vértice son respectivamente proporcionales a las respectivas abscisas
7.14.1. libro 7 vuelve a los diámetros conjugados
7.14.2. libro 8 continuación del 7
7.15. los métodos de Apolonio utilizados en sus libros de cónicas son como un planeamiento analítico moderno
8. RENACIMIENTO Y OCASO DE LA MATEMÁTICA GRIEGA
8.1. LA MATEMÁTICA APLICADA
8.1.1. se desarrollo desde el 600 antes de Cristo hasta por lo menos el 600 después de Cristo
8.1.2. los tres máximos descubrimientos matemáticos: la inconmensurabilidad de la arista y la diagonal en un cubo; El triángulo rectángulo de los lados 3, 4 y 5 y el cálculo por Arquímedes de la composición de la corona o de La guirnalda real.
8.2. la «Edad de Plata» de la matemática griega va del 250 al 350
8.2.1. el más importante de todos los algebristas griegos, Diofanto de Alejandría
8.2.2. el último geómetra importante en la matemática griega, Pappus de Alejandría.
8.3. NICOMANO DE GERASA
8.3.1. clasificación pitagórica de los números en pares o impares
8.3.2. parmente pares o potencias de dos y parmente impares o de la forma 2^n•p, con p impar, p>1 y n>1, e imparmente pares de la forma 2•p, con p impar y p>1
8.3.3. definiciones de los números primos, compuestos y perfectos incluyendo una descripción de la criba de Eratóstenes y una lista de los cuatro primeros números perfectos (6, 28, 496 y 8128)
8.3.4. si se agrupan los enteros impares de la forma 1, 3+5; 7+9+11; 13+15+17+19... entonces las sumas sucesivas van siendo iguales a los cubos de los enteros
8.3.4.1. la suma de los n primos cubos perfectos es igual al cuadrado de la suma de los n primeros números enteros.
8.3.5. Diofanto
8.3.5.1. resuelve problemas con varias incógnitas expresando hábilmente todas las cantidades desconocidas en términos de una sola de ellas siempre que esto sea posible
8.3.5.2. La Arithmetica, consiste en una colección de 150 problemas, resueltos todos ellos en términos de ejemplos numéricos concretos y específicos
8.3.5.3. Papus de ALEJANDRÍA
8.3.5.3.1. colección matemática.
8.3.5.3.2. Pappus demuestra que si en la semicircunferencia abcd centro O tenemos DB AC y BF OD, entonces OD es la media aritmética, DB la media geométrica y DF la media armónica de los segmentos AB y BC.
8.3.5.3.3. generalización elemental del teorema de Pitágoras
8.3.5.3.4. el problema de pappus
8.3.6. Proclo de ALEJANDRIA
8.3.6.1. 410 hasta 485
8.3.6.1.1. pasaje que ha venido a ser conocido como El su marido demo puede considerarse como la principal contribución de proclo a la matemática.
8.3.7. Boecio ( ca 480 hasta 524)
8.3.7.1. el matemático más importante que produjo la antigua Roma.
8.3.7.1.1. cuatro ramas de la matemática de las artes liberales
8.3.7.2. fue ejecutado en los años 524 o 525 después de larga presión.
8.3.7.2.1. el fin de la matemática antigua del imperio romano de occidente