ESPACIOS VECTORIALES R3
Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales.
1. conceptualizacion
1.1. al estudiar los vectores, se identifican las diferentes operaciones ,suma vectorial y multiplicación por escalar y algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa, conmutativa y otras.
2. :one: : DEFINICION
2.1. Es una estructura algebraica de un conjunto no vacío, a partir de una operación interna (llamada suma,) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto.
3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
3.1. Cerradura multiplicativa
3.1.1. Distributividad respecto a un escalar (a+b)*u=a*u+b*u
3.1.2. Distributividad respecto a un vector (a*(u+v)=a*u+a*v
3.1.3. Asociatividad multiplicativa: a*(b*u)=(a*b)*u
3.1.4. Elemento neutro multiplicativo = 1
3.2. Cerradura aditiva
3.2.1. Conmutatividad: u+v =v*u
3.2.2. Asociatividad: u + (v+w)=(u+v)+w
3.2.3. Neutro aditivo = cero
3.2.4. Existencia de elementos inversos
4. Dependencia e Independencia Lineal
4.1. Dependencia
4.1.1. Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.
4.2. Independencia
4.2.1. Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0
5. :three: : combinaciones Lineales
5.1. los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial dado.
6. Espacio Vectorial Trivial
6.1. Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.
7. NOTACIÓN
7.1. Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K se distinguen
7.1.1. Los elementos de K como: a,b,c, se llaman escalares
7.1.2. Los elementos de V se llaman vectores (u, v, w)