1. 1 Desigualdades
1.1. Se conoce como desigualdad matemática a las proposiciones de relación entre un orden existentes de dos expresiones algebraicas. Estas deben estar conectadas con los signos menor que, mayor que, desigual que, menor o igual que o mayor o igual que
1.1.1. Los signos de desigualdad matemática existentes son los siguientes: Desigual a ≠. Menor que <. Menor o igual que ≤. Mayor que >. Mayor o igual que ≥.
1.1.1.1. Propiedades de la desigualdad matemática
1.1.1.1.1. Al restar el mismo valor a ambas partes de la expresión la desigualdad se debe mantener.
1.1.1.1.2. Si se suma el mismo valor a ambas partes de la expresión, la desigualdad debe permanecer igual.
1.1.1.1.3. En caso de multiplicar los miembros de la expresión matemática por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
1.1.1.1.4. Cuando se dividen ambas partes de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se debe mantener.
2. 2 Funciones
2.1. Las funciones matemáticas se definen como la expresión matemática de la relación existente entre dos variables o magnitudes. Dichas variables son simbolizadas a partir de las últimas letras del alfabeto, X e Y, y reciben respectivamente el nombre de dominio y condominio.
2.1.1. 1. Funciones algebraicas Se entienden por funciones algebraicas el conjunto de tipos de funciones matemáticas caracterizadas por establecer una relación cuyos componentes son o bien monomios o bien polinomios, y cuya relación se obtiene a través de la realización de operaciones matemáticas relativamente simples: suma resta, multiplicación, división, potenciación o radicación (uso de raíces). Dentro de esta categoría podemos encontrar numerosas tipologías.
2.1.2. Otra clasificación
2.1.2.1. 1. Funciones inyectivas Reciben el nombre de funciones inyectivas aquel tipo de relación matemática entre dominio y codominio en el que cada uno de los valores del codominio se vincula únicamente a un valor del dominio. Es decir, x solo va a poder tener un único valor para un valor y determinado, o bien puede no tener valor (es decir un valor concreto de x puede no tener relación con y).
2.1.2.1.1. 2. Funciones suryectivas Las funciones suryectivas son todas aquellas en las que todos y cada uno de los elementos o valores del codominio (y) están relacionados con al menos uno del dominio (x), aunque pueden ser más. No tiene porqué ser necesariamente inyectiva (al poder asociarse varios valores de x a un mismo y).
2.1.3. 2. Funciones trascendentes Se denominan funciones trascendentes aquellas representaciones matemáticas de relaciones entre magnitudes que no pueden obtenerse a través de operaciones algebraicas, y para las que es necesario realizar un complejo proceso de cálculo con el fin de obtener su relación. Incluye principalmente aquellas funciones que requieren del uso de derivadas, integrales, logaritmos o que tienen un tipo de crecimiento que va creciendo o decreciendo de manera continuada.
3. 3 Límites
3.1. El concepto de límite de una función en un punto es uno de los más importantes en matemáticas, sirve para responder a la pregunta: A que valor se aproxima la variable dependiente cuando la variable independiente se aproxima a un cierto valor a?. Como por ejemplo: Consideramos la función y = f(x) = 2x + 1, queremos saber a que valor se aproxima la variable y cuando la variable x se aproxima a 3.
3.1.1. Límites infinitos y límites en el infinito Diremos que el límite de una función en el punto x = a es + ∞ , = + ∞ → lim f(x) x a , cuando los valores de la variable independiente se acercan al valor x = a entonces los correspondientes valores de f(x) se hacen cada vez más grandes.
4. 4 Continuidad
4.1. La idea de que una función es continua en un punto x = a cuando se pode dibujar sin levantar el lápiz del papel al pasar por ese punto, o cuando es una función que no presenta saltos ni agujeros en ese punto, son aproximaciones intuitivas al concepto de continuidad. Estas primeras aproximaciones pueden aclarar ideas y facilitar la decisión sobre si una función cumple o no esta propiedad, pero es preciso definir de forma matemática el concepto de continuidad. Una función f es continua en un punto x = la de su dominio si limf(x) f(a)
5. Referencia: Larios García, R. García Sosa, R. F. & Gómez Carranza, P. (2010). Introducción al cálculo diferencial.. Instituto Politécnico Nacional. https://elibro-net.zproxy.cun.edu.co/es/lc/bibliocun/titulos/72661
6. 5 Derivada
6.1. Las derivadas son un cálculo diferencial, que es una rama de la matemática que estudia los cambios de las funciones, y una parte importante de los análisis matemáticos para calcular el valor del límite de la función. Pero, ¿a qué corresponde? Se trata de la cercanía entre un punto y otro. Entonces, cuando hablamos de una derivada nos referimos al valor en la que se transforma dicha función con respecto a una variable en la pendiente de la recta.
6.1.1. Tipos de derivadas Existen muchos tipos de derivadas que responden de acuerdo a la naturaleza del instrumento matemático para encontrar el valor del límite de una función en un determinado punto. Aquí mencionaremos los más relevantes y utilizados para simplificar la comprensión.
6.1.1.1. Derivadas de una función Suelen ser las más comunes, y usadas en la práctica, de todas las alternativas diferenciales que existen. En primer lugar, expliquemos qué es una función. Es la relación entre un conjunto llamado dominio, y representado con ‘x’, con otra magnitud.
6.1.1.2. Derivadas algebraica Las derivadas en algebraica corresponden a las pendientes de una tangente correspondiente a una función en un cierto punto. Aquí se encuentra la función en el determinado punto. Estas suelen ser cálculos matemáticos y ecuaciones de polinomios, donde cualquier valor es relativo.
6.1.1.3. Derivadas de un producto En este caso las derivadas se obtienen mediante la multiplicación. Debemos multiplicar la derivada por el segundo producto que se encuentra en la ecuación matemática y luego se le suma por el segundo factor. Es un cálculo sencillo que responde a matemáticas de productos y operaciones binarias realizadas en ciertos contextos.
6.1.1.4. Derivadas del cociente Las derivadas del cociente, que es la cantidad conseguida de la división de números, se obtienen mediante la multiplicación del denominador. También se debe multiplicar al mismo tiempo por el numerador.
7. 6 Derivada de Funciones Trascendentes
7.1. las funciones trascendentes son aquellas donde aparecen funciones trigonométricas, logarítmicas, y exponenciales. Algunos ejemplos de funciones trascendentes son f ( x ) = e x f(x)=e^{x} f(x)=ex, f ( x ) = s e n ( x ) f(x)=sen(x) f(x)=sen(x) y f ( x ) = l n ( x ) f(x)=ln(x) f(x)=ln(x).
8. 7 Derivada de orden superior
8.1. El cálculo de derivadas es vital para estudiar el comportamiento de una función pues podemos obtener información valiosa a partir de su derivada, más aún, es posible obtener más información derivando su derivada.
8.1.1. Es por esto que resulta necesario definir las derivadas de orden superior. Formalmente, si f(x) es una función, dependiendo del contexto, diremos que f'(x) es la primera derivada de f(x), derivada de primer orden de f(x) o derivada de orden uno de f(x) . De esta forma, definimos la segunda derivada de f(x) o derivada de segundo orden de f(x) como la derivada de f'(x) y la denotamos con f''(x), formalmente
9. 8 Aplicaciones de la Derivada Máximos – Mínimos
9.1. Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores críticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la función en sus puntos extremos. Cuando se trabaja con una función de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. Un conjunto está delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. En primer lugar, tenemos que hallar los puntos críticos dentro del conjunto y calcular los valores críticos correspondientes. Entonces, es necesario hallar el valor máximo y mínimo de la función en el borde del conjunto. Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la función corresponde al máximo global y el menor valor de la función corresponde al mínimo absoluto. Sin embargo, en primer lugar hay que asegurarse de que esos valores existen.
9.1.1. Teorema del valor extremo Una función continua f(x,y) en un conjunto cerrado y delimitado D en el plano alcanza un valor máximo absoluto en algún punto de D y un valor mínimo absoluto en algún punto de D.
9.1.1.1. Hallar los valores extremos de una función de dos variables Supongamos que z=f(x,y) es una función diferenciable de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D. Entonces f alcanzará el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto, que son, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños encontrados entre los siguientes: Los valores de f en los puntos críticos de f en D. Los valores de f en el borde de D.