1. Tipo de función
1.1. continua
1.1.1. condiciones
1.1.1.1. 1.- sí f(a) existe
1.1.1.2. 2.- sí lim f(x) con respecto que x-->a
1.1.1.2.1. Ejemplo: Cuando el valor del límite de la variable independiente x tiende a 4 por la izquierda, es igual que el valor del límite cuando la variable independiente x tiende a 4 por la derecha, por lo tanto, se concluye que el límite bilateral existe, y además es igual a la función evaluada en x=4, por ello, la función es continua
1.1.1.3. 3.- sí lim f(x) con respecto que x-->a es igual a f(a)
1.2. no continua
1.2.1. no cumple con una o más condiciones la función es discontinúa de a
1.2.1.1. 1.- sí f(a) no existe, se dice que es discontinua en a
1.2.1.2. 2.- sí lim f(x) con respecto que x-->a no existe, se dice que discontinua en a
1.2.1.3. 3.- sí lim f(x) con respecto que x-->a es igual a f(a), no existe entonces se le considera una discontinuidad escencial
1.2.1.4. 4.- Se dice que una función presenta una discontinuidad removible cuando se puede redefinir de tal manera que se cumpla la tercera condición.
2. Las tres condiciones necesarias para determinar que una función es continua son:
2.1. La función debe estar definida en el punto en cuestión.
2.1.1. EJEMPLO: Consideremos la función f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1), definida para todo x diferente de 1. Primero,para determinar si la función es continua en x = 2, verificamos que la función esté definida en x = 2. Sí, la función está definida en x = 2.
2.2. Segundo, calculamos el límite de la función en x = 2
2.2.1. utilizando el teorema de factorización y cancelación: lim x→2 (x^2 - 1)/(x - 1) = lim x→2 (x + 1) = 3 El límite de la función en x = 2 existe y es igual a 3.
2.3. Tercero, para determinar si la función es continua en x = 2, verificamos que el valor de la función en x = 2 sea igual al límite de la función en x = 2.
2.3.1. Calculamos el valor de la función en x = 2: f(2) = (2^2 - 1)/(2 - 1) = 3 El valor de la función en x = 2 es igual al límite de la función en x = 2. Por lo tanto, la función f(x) es continua en x = 2.
3. Teoremas
3.1. sí el límite existe, entonces es único.
3.1.1. Entonces el límite de f(x) cuando "x" tiende a "c" es único, es decir, no existe otro valor diferente de L que sea el límite de f(x) cuando "x" tiende a "c".
3.1.1.1. EJEMPLO DE GRAFICA https://img.genial.ly/641909f7c50a940018815434/1680047598457-1.png
3.2. sí c es una constante, entonces Lim c = c x--->a
3.2.1. Ejemplo f(x)= 4 entonces lim 4 = 4 x-->3
3.2.1.1. EJEMPLO DE GRAFICA https://img.genial.ly/641909f7c50a940018815434/1680056737036-2.png
3.3. sí lim x = a cuando x --> a
3.3.1. Ejemplo cuando f(x)=x, es una variable, entonces: lim x = 2 x-->2
3.3.1.1. EJEMPLO DE GRAFICA https://img.genial.ly/641909f7c50a940018815434/1680057629795-3.png
3.4. lim [f(x)+g(x)= L+M] x--> a
3.4.1. | lim f(x)= lim 3 = 3 | y | lim f(g)= x = lim x = 2 | x-->2
3.4.1.1. lim f(x) + g(x) = lim 3 + lim x = lim (3 + x) = 3 + 2 = 5 x-->2
3.4.1.1.1. EJEMPLO DE GRAFICA https://img.genial.ly/641909f7c50a940018815434/1680057659791-4.png
3.5. lim[f(x) g(x)] = LM x --->a
3.5.1. lim f(x) = lim (x) = 2 y lim g(x) = lim (3 + 2) = 5 x-->2 x-->2 entonces: (lim f(x)) (lim g(x)) = 2 * 5 = 10
3.5.1.1. EJEMPLO DE GRAFICA https://img.genial.ly/641909f7c50a940018815434/1680061437670-5.png