Logaritmos

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Logaritmos por Mind Map: Logaritmos

1. Propiedades Generales

1.1. Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

1.2. Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0.

2. Identidades logarítmicas

2.1. 1.-El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 2.-El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. 3.- El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. 4.-El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

3. Transcendencia del logaritmo

3.1. El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 .

3.2. Los logaritmos son fáciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. En general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fijada.

4. Definicion

4.1. En matemáticas, el logaritmo de un número en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

5. Historia

5.1. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

5.2. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.