NUMEROS REALES SUS AXIOMAS Y INTERVALOS

1. ¿Que es un numero real?

1.1. Se llaman números reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los números reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I.

1.1.1. Los números reales se representan con la siguiente letra R.

1.1.1.1. Composición de los números reales

1.1.1.1.1. Números naturales naturaless: son los números que nos sirven para contar y ordenar, se simboliza por {N} y se puede expresar por:

1.1.1.1.2. Números enteros: es conjunto se compone de los números naturales, sus negativos y el cero, y el símbolo para denotarlo es {Z}, la notación para este conjunto es

1.1.1.1.3. Números racionales: cada elemento de este conjunto se expresa de la siguiente forma p/q, donde p y q son son números pertenecientes a los enteros y q siempre es distinto de cero. Tienen una expansión decimal infinita o periódica. Se denota con la letra \mathbb{Q}:

1.1.1.1.4. Números irracionales: Son números que no pueden escribirse de la forma p/q, tienen una expansión decimal infinita y apreiódica. El conjunto se denota por \mathbb{I}. Ejemplo de ellos es el número \pi

2. ¿Que es un axioma?

2.1. En el conjunto de los número reales, se definen dos operaciones: la suma o adición y el producto o multiplicación y una relación de orden, denotada por “<” que satisfacen los siguientes axiomas. A estos axiomas también se les conoce como propiedades de los números reales.

2.1.1. Tipos de axiomas

2.1.1.1. Axiomas de la adición

2.1.1.1.1. Axioma 1: Para todo a y b en ∈ R, a+b {R}. Estabilidad o cerradura. Se dice que los números reales son cerrados respecto a la adición (escrita frecuentemente por +).Esto quiere decir que a cada par de números en este conjunto, por ejemplo, a y b corresponde exactamente un número real a+b. Llamado suma de a y b..

2.1.1.2. Axiomas de la multiplicación

2.1.1.2.1. Axioma 1: Para todo a y b en R, ab ∈ R. Estabilidad. Este conjunto también es cerrado en relación a la multiplicación (escrita por conveniencia por .), equivalentemente a cada par de números a, b corresponden un número real a . b también escrito como ab, llamado producto de a y b.

2.1.1.3. Axioma distributivo

2.1.1.3.1. Axioma para todo a, b y c en R, a (b+c)=ab+ac y (b+c)a=ba+ca. Ley distributiva.

2.1.1.4. Axiomas de orden

2.1.1.4.1. Axioma 1: Para cualesquiera dos elementos a y b en R, una y sólo una de las sigueintes relaciones se verifica: a<b, a = b, b < a Ley de tricotomia.

2.1.1.5. Axioma fundamental

2.1.1.5.1. Existe un conjunto que se denota por R que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.

3. ¿Que es un intervalo?

3.1. Son explicados como el conjunto de valores reales que existen entre dos números. Este concepto, aplicado a la función, se refiere entonces a los valores que puede tener el dominio de la relación.Es decir, la variable x no puede asumir siempre todos los valores, sino que en determinados casos debe limitarse a un intervalo específico. Por ejemplo, suponiendo que la ecuación de la función sea la siguiente:

3.1.1. y = √5-x

3.1.1.1. Se infiere entonces que el valor de x no puede ser superior a cuatro, puesto que de serlo daría como resultado un número negativo, lo cual arrojaría a su vez una solución inexistente, por lo que no es posible una raíz cuadrada con radicando negativo. Por ende, se asume que el valor de x puede ser 0, 1, 2, 3, 4. Esta realidad puede expresarse como un intervalo que indique que el valor de esta variable se encuentra entre 0 y 4.

3.1.1.1.1. Intervalos cerrados

3.1.1.1.2. Intervalos abiertos

3.1.1.1.3. Intervalos semiabiertos por la izquierda

3.1.1.1.4. Intervalos semiabiertos por la derecha