1. SERIES
1.1. 1/n^p converge si p>1 diverge si p=<1
1.2. {Sn}=a1,a1+a2,a1+a2+a3...
1.3. Criterio de la divergencia
1.3.1. si Σdesde n=1 hasta ∞ de an converge entonces lim n->∞ an=0
1.3.2. si lim n->∞ an !=0 o no existe entonces Σdesde n=1 hasta ∞ de an diverge
1.4. Serie geometrica
1.4.1. DEBE iniciar en 0
1.4.1.1. forma :Σdesde n=0 hasta ∞ de a * r^(n)
1.4.1.2. forma :Σdesde n=1 hasta ∞ de a * r^(n-1)
1.4.1.2.1. si |r| <1 la serie converge a a/(1-r)
1.4.1.2.2. si |r| >= 1 la serie diverge
1.4.2. TIPS: multiplicar por la base y restarle 1 al exponente
1.5. Serie telescopica
1.5.1. forma :Σdesde n=1 hasta ∞ de (a(n+1)-an)
1.5.2. forma :Σdesde n=1 hasta ∞ de (an-a(n-1))
1.5.2.1. hallar Sn=sumatoria de a(n+1)-an
1.5.2.1.1. =(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)....
1.5.3. TIPS: jugar con el inicio de la sumatoria
1.6. Criterio de la integral
1.6.1. DEBE CUMPLIR continua,positiva y decreciente para x>1
1.6.2. si la integral converge la serie converge y al reves
1.6.2.1. sea f(x)=forma :Σdesde n=1 hasta ∞ debe dar un numero
1.7. Criterios de la comparacion
1.7.1. por desigualdades
1.7.1.1. sea forma :Σdesde n=1 hasta ∞ an y bn series de terminos positivos donde an<=bn
1.7.1.1.1. si bn converge entonces an converge
1.7.1.1.2. si an diverge entonces bn diverge
1.7.2. por limite
1.7.2.1. sean series an y bn de terminos positivos si lim n-> ∞ de an/bn = c y c>0 entonces o ambas convergen o ambas divergen
1.7.2.1.1. si c=0 y bn converge entonces an converge
1.7.2.1.2. si c = ∞ y bn diverge entonces an diverge
1.7.2.2. TIPS: mirar el mayor exponente de arriba y abajo de an y ponerlos en bn
1.8. Criterio del cociente (razon)
1.8.1. sea an una seria positiva
1.8.1.1. sea lim n->∞ an+1/an = L
1.8.1.1.1. si L<1 entonces serie converge
1.8.1.1.2. si L>1 o ∞ entonces serie diverge
1.8.1.1.3. si L=1 el criterio no sirve
1.8.2. TIPS: se mira cuando tenga factoriales
1.9. Criterio de la raiz
1.9.1. sea an una serie positiva y sea lim n->∞ raiz n de an =L
1.9.1.1. si L<1 entonces serie converge
1.9.1.2. si L>1 o ∞ entonces serie diverge
1.9.1.3. si L=1 el criterio no sirve
1.10. Series alternantes y convergencia absoluta
1.10.1. criterio de leibnitz
1.10.1.1. sea una serie alternante la serie Converge si tiene
1.10.1.1.1. lim n-> an =0
1.10.1.1.2. decreciente
1.10.2. se ve serie (-1)^n bn
1.10.3. Teorema
1.10.3.1. sea una serie an
1.10.3.1.1. si | an | converge entonces an converge absolutamente
1.10.3.1.2. si | an | diverge y an converge an converge condicionalmente
1.11. Series de potencias
1.11.1. forma :Σdesde n=1 hasta ∞ Cn(x-a)^n
1.11.1.1. |x| lim n->∞ an+1/an = L
1.11.1.1.1. evaluar x en los extremos del intervalo
1.11.1.1.2. |x|<1= -1<x<1 radio=1 (-1,1)
1.11.2. Series de Taylor y maclaurin
1.11.2.1. Sea f(x) una función que tiene derivadas de todos los ordenes
1.11.2.1.1. Si a =0 maclaurin
1.11.2.1.2. Se remplaza a en la derivada y en la primera
1.11.2.2. TIPS: usar las formulas
1.12. Operaciones con series de potencias
1.12.1. 1/1-x= Σdesde n=o hasta ∞ x^n en |x|<1
1.12.1.1. sean series d epotencias Cn x^n y Dn x^n que convergen respectivamente a f(x) y g(x) en un intervalo i en comun
1.12.1.1.1. Cn +-Dn x^n converge a f(x)+-g(x) =(f+-g) (x) en i
1.12.1.1.2. para x^m tal que m+n>0 x^mΣdesde n=0 hasta ∞ Cn x^n = Σdesde n=0 hasta ∞ Cn x^n+m Converge a x^m f(x) para i
1.12.1.1.3. si h(x)=b x^m Σdesde n=o hasta ∞ Cn (h(x))^n=Σdesde n=o hasta ∞Cn(bx^m)^n converge a f(h(x)) para i
1.12.1.1.4. Σdesde n=o hasta ∞ Cn(x-a)^n para |x-a|<R
1.12.2. TIPS: usar las formulas
2. Clasificacion
2.1. Monotonia
2.1.1. CONSTANTES
2.1.1.1. todas las imagnes son iguales
2.1.2. CRECIENTE
2.1.2.1. an=<a(n+1)
2.1.2.1.1. estrictamente sin el igual
2.1.3. DECRECIENTE
2.1.3.1. an>=a(n+1)
2.1.4. ALTERNANTE U OSCILANTE
2.1.4.1. ni creciente ni decrecientes
2.2. Acotamiento
2.2.1. ACOTADA SUPERIORMENTE
2.2.1.1. an=<L todos las imagenes son menores que L
2.2.2. ACOTADA INFERIORMENTE
2.2.2.1. an>=L todos las imagenes son mayores que L
2.2.3. ACOTADA
2.2.3.1. M=<an=<L todas las imagenes cumplen ambos casos
2.2.4. NO ACOTADA
2.3. Convergencia
2.3.1. CONVERGE
2.3.1.1. lim n->∞ =L
2.3.2. Diverge
2.3.2.1. lim n->∞ no existe