1. Función real de variable real
1.1. Una función real de variable real es una regla que asocia a cada número real x (variable independiente) un único número real y (variable dependiente). Se escribe como f(x), donde f es el nombre de la función.
1.1.1. Dominio y rango
1.1.1.1. El dominio de una función son los números reales para los que está definida, y el rango son los valores reales que puede tomar la función.
1.1.2. Representación gráfica
1.1.2.1. La gráfica de una función muestra la relación entre la variable independiente (x) y la variable dependiente (y) en un plano cartesiano, con x en el eje horizontal y y en el vertical.
1.1.3. Tipos de funciones
1.1.3.1. Funciones lineales: f(x) = ax + b, gráfica: línea recta. Funciones cuadráticas: f(x) = ax^2 + bx + c, gráfica: parábola. Funciones exponenciales: f(x) = a^x, gráfica: curva que aumenta rápidamente. Funciones logarítmicas: f(x) = log_a(x), gráfica: curva que aumenta lentamente.
2. Límite de una función
2.1. Límite finito: para cualquier número positivo ϵ, existe un número positivo δ tal que si la distancia entre x y a es menor que δ pero diferente de cero, entonces la distancia entre f(x) y L es menor que ϵ.l Límite infinito: para cualquier número real positivo M, hay un número real positivo δ tal que si la distancia entre x y a es menor que δ pero diferente de cero, entonces el valor absoluto de f(x) es mayor que M.
2.1.1. Límite lateral:
2.1.1.1. El límite lateral de una función f(x) en un punto a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a a por la derecha o por la izquierda. Se define de forma similar al límite finito, pero solo considerando valores de x a la derecha o a la izquierda de a.
2.1.2. Teoremas de límites:
2.1.2.1. Teorema de la suma: El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de las funciones.
2.1.2.2. Teorema del producto: El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de las funciones.
2.1.2.3. Teorema del cociente: El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las funciones (siempre que el límite del denominador no sea cero).
2.1.2.4. Teorema del valor intermedio: Si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los valores entre sus valores inicial y final.
2.1.3. Cálculo de límites:
2.1.3.1. Sustitución directa: Si la función es continua en el punto, el límite es simplemente el valor de la función en el punto.
2.1.3.2. Factorización: Si la función puede ser factorizada, se puede calcular el límite utilizando los teoremas de límites.
2.1.3.3. Racionalización: Si la función es una fracción, se puede racionalizar para obtener una forma más simple.
2.1.3.4. Reglas de L'Hôpital: Si el límite de la función es de la forma 0/0 o ∞/∞, se pueden utilizar las reglas de L'Hôpital para obtener un límite indeterminado y calcularlo.
3. Continuidad en un punto:
3.1. Una función f(x) es continua en un punto a si se cumple que: En otras palabras, la función f(x) es continua en a si el límite de f(x) cuando x se aproxima a a es igual al valor de f(x) en a.
3.1.1. Tipos de discontinuidades:
3.1.1.1. Discontinuidad puntual: La función no está definida en el punto a.
3.1.1.2. Discontinuidad evitable: La función tiene un límite finito en a, pero el valor de la función en a es diferente del límite.
3.1.1.3. Discontinuidad de salto finito: La función tiene un límite finito en a, pero el valor de la función en a es infinito.
3.1.1.4. Discontinuidad infinita: La función tiene un límite infinito en a.
3.1.2. Teoremas de continuidad:
3.1.2.1. Teorema de la suma: Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en a, entonces la función f(x) + g(x) también es continua en a.
3.1.2.2. Teorema del producto: Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en a, entonces la función f(x)g(x) también es continua en a.
3.1.2.3. Teorema del cociente: Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en a y g(a) ≠ 0, entonces la función f(x) / g(x) también es continua en a.
3.1.2.4. Teorema de la composición: Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en a y g(a) ≠ 0, entonces la función f(g(x)) también es continua en a.
3.1.3. Relación con el límite:
3.1.3.1. La definición formal de continuidad en un punto se basa en el concepto de límite. Si el límite de una función en un punto es igual al valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto.
4. Propiedades de funciones continuas:
4.1. Teorema del valor intermedio:
4.1.1. Enunciado: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Si f(a)<y<f(b), entonces existe un punto c∈(a,b) tal que f(c)=y.
4.1.1.1. Interpretación: Este teorema nos dice que si una función continua toma dos valores diferentes en dos puntos de un intervalo, entonces la función debe tomar todos los valores intermedios entre esos dos valores en algún punto del intervalo.
4.2. Teorema del máximo y del mínimo:
4.2.1. Enunciado: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces, f tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo.
4.2.1.1. Interpretación: Este teorema nos dice que si una función continua se define en un intervalo cerrado, entonces la función debe tener un valor máximo y un valor mínimo en algún punto del intervalo.