VECTORES

1. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:

2. Sea un vetor a y un escalar "k" el resultado del producto del escalr por el vector representando por ka es un vector con las siguientes caracteristicas: El modulo del vector producto es /ka/=/k//a/, donde /K/ es el valor absoluto de k. Ademas podemos agregar que (/ka/</A/ si /k/<1 ;/ka/>/a/ si /k/> 1 ; /ka/=/a/ si /k/= 1 ; /ka/= vector nulo si k=0 o a= vector nulo). La direccion de k al vector a es la misma que al vector si k es distinto de 0. El sentido de k al vector a es el de vector a si k>0 y contraria al vector a, si k<0. El producto k al vector a se llama tamnien multiplo escalar del vector.

3. PRODUCTO NULO

3.1. 0*A=K*VECTOR NULO=VECTOR NULO. Las demostraciones de las propiedades enunciadas se puede realizar a partir de la definicion algunas y por medio de consideraciones geometricas otras.

4. MODULO DE UN VECTOR EN UN ESPACIO TRIDIMENCIONAL

4.1. Dado que el calculo del modulo es en relaidad un calculo de distancias entre puntos, el modulo sera: /a/=sqtr((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)

5. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

5.1. El producto de un escalar por un vector goza de las siguientes propiedades : – Ley de composición externa: se entiende que el producto de un elemento externo (escalar) por un elemento interno (vector) da por resultado un vector. k*a=c – Asociativa mixta: k1*(k2*a)=(k1*k2) *a=k2*(k1*a) – Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de vectores: k*(a+b)=k*a+k*b – Propiedad distributiva de producto por vectores con respecto a la suma de escalares: (k1+k2)*a=k1*a+k2*a – Elemento neutro para el producto:1*a=a

6. VECTOR UNITARIO O VERSOR

6.1. Se llama vector unitario o versor a un vector de modulo igual a 1. Cumple la funcion de "unidad vectorial"

7. VERSOR ASOCIADO A UN VECTOR DADO

7.1. Dado un vector cualquiera, es posible hallar un versosr asociado a el. Este es un vector de modulos unitario y del mismo sentido y direccion que el. Para ello es necesario calcular una constante "k", positiva y que al multiplicar al vector dado modifique su modulo haciendolo igual a 1. /ka/=/k/*/a/=k*/a/=1 . Apartir del concepto de versor asociado tambien podemos asegurar que cualquier vector es igual al producto de su modulo por un versor de su misma direccion y sentido.

8. VERSORES FUNDAMENTALES: VECTORES CANONICOS

8.1. Ante la necesidad de definir unidades vectoriales sobre los ejes coordenados. Son los llamados versores fundamentales o vectores conicos. Se identifican como sigue: En el plano r2 i=(1;0) j=(0;1) el conjunto de vectores canonicos se llama base canonica en r2: {i;j} (a=a1 i + a2 j) ej: a=4i+6j

9. VECTOR DESPLAZAMIENTO

9.1. Un desplazamiento, significa un cambio de posicion; es la diferencia entre dos vectores posicion. D=pf-pi

10. COSENOS DIRECTORES

10.1. Considerando la definicion de angulos directores, se puede definir a los cosenos directores como los cosenos de los angulos directores. (angulos directores en r2: beta)(cosenos directores (cos:a1//a/)(cos:a2//a/))

11. DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ

11.1. -MODULO:/AxB/=/A/*/B/*sen(a)-Perpendicular al plano de a y b -Sentido: mano derecha o tornillo

11.1.1. PROPIEDADES: anticonmutativa, distributiva con respecto a la suma de vectores, asociativa mixta, el producto vectorial de un mismo vector por un mismo vector es nulo.

11.1.1.1. AREA DEL PARALELOGRAMO:/AxB/=/A/*/B/*sen(a)[interpretacion geometrica del producto vectorial]

11.1.1.1.1. [Condicion geometrica] condicion de paralelismo: AxB= VECTOR NULO <> vector a es paralelo al vector b ose a /AxB/=0

12. PRODUCTO MIXTO

12.1. DEFINICION: (AxB)*C=A*(BxC)

12.1.1. PROPIEDADES: ABC=CAB=BCA; ABC=-ACB

12.1.1.1. INTERPRETACION GEOMETRICA: volumen del paralelepipedo: V/(AxB)*C/

12.1.1.1.1. CONDICION DE COPLANARIDAD DE TRES VECTORES O DE PARALELISMO A UN PLANO: (AxB)*C=0 <> A,B y C son coplanares

13. VERSORES FUNDAMENTALES EN R3

13.1. En r3 se agrega un versor fundamental: i=(1,0,0);j=(0,1,0);k=(0,0,1)

13.1.1. FORMA CANONICA = A= a1 i + a2 j +a3 k

14. MAGNITUDES ESCALARES O VECTORIARES: Una magnitud escalar es aquella que se expresa mediante un numero real con una unidad apropiada de medida. Las magnitudes vectoriales se expresan mediante un elemento llamado vector, que posee una direccion, un sentido y una magnitud o modulo.

15. VECTORES DESDE EL PUNTO DE VISTA GEOMETRICO:Un vector desde un punto de vista geométrico, es un segmento de recta orientado. La orientación se la da el origen y el extremo, o sea un par de puntos pertenecientes a ella dados en un cierto orden. Si consideramos al punto A como origen y al B como extremo tendremos un segmento orientado, que define al vector AB . Esto determina el sentido. La dirección queda determinada por la recta “r”. La longitud del segmento es el modulo del vector:/ab/

16. CLASIFICACION DE VECTORES

16.1. IGUALDAD DE VECTORES FIJOS:Los vectores fijosson iguales cuando son iguales su módulo, dirección y sentido y además el punto sobre el que están aplicados. Son ejemplos de estos las fuerzas aplicables a sólidos donde puede cambiar el efecto de acuerdo al punto sobre el que se apliquen. a=b

16.2. IGUALDAD DE VECTORES DESLIZANTES:Los vectores deslizantesson iguales cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. Comparten la línea de acción. Es un ejemplo de este tipo de vectores el vector desplazamiento de un auto a velocidad constante en un movimiento rectilíneo.

16.3. IGUALDAD DE VECTORES LIBRES: Los vectores libres son vectores que por las características de la magnitud que representan, y el sistema sobre el que actúan no requieren se indique el punto de aplicación y admiten direcciones paralelas. Por lo tanto los vectores libres son aquellos que tienen el mismo módulo, sentido y direcciones paralelas. Si se unen extremos con extremos y origen con origen de dos de ellos, queda determinado un paralelogramo, ABDC. O sea los lados son iguales, y paralelos. En caso de que dos o más vectores permitan esa construcción, es decir ser lados opuestos de un paralelogramo, y tengan el mismo sentido, se dice que son equipolentes. En definitiva, dos vectores se dicen equipolentes cuando tienen el mismo módulo, igual sentido y la misma dirección o direcciones paralelas. Los vectores AB , CD y EF son equipolentes, ya que poseen el mismo módulo, igual sentido y direcciones paralelas. Un vector libre es un vector v representante de los infinitos vectores equipolentes a un vector dado. El vector v es representante de los vectores del conjunto dado arriba. En general, en el trabajo a realizar en matemática en lo sucesivo utilizaremos vectores libres. En física en cambio en ocasiones se necesita restringir el concepto y definir el punto de aplicación de la fuerza, o la recta de acción, por lo que se hace necesario trabajar con vectores fijos o deslizantes.

16.4. CASOS PARTICULARES: Si bien en cualquier caso la aplicación del concepto de suma es la misma, vale la pena hacer algunas consideraciones para el caso de tratarse de vectores libres de iguales direcciones (o paralelas). Por tratarse de vectores libres, la traslación de uno de ellas a partir del otro genera situaciones especiales. Como es razonable se obtiene un vector suma de igual direccion y sentido que los dados. El modulo sera la suma de los modulos. Como se deduce el resultado sera un vector de igual direccion , pero con el mismo sentido de aquel que tenga mayor modulo. El modulo de la suma sera una diferencia de los modulos

17. PROPIEDADES DE LA SUMA

18. La suma de vectores posee las siguientes propiedades: – Ley de composición interna: la suma de dos vectores da como resultado un vector: a+b=c -Conmutativa:a+b=b+a – Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) – Elemento neutro: existe un vector llamado elemento neutro para la suma que verifica: vector a+vector nulo= vector a (se llama vector nulo). – Vector opuesto: dado un vector a existe un vector opuesto a él (igual dirección, módulo y sentido opuesto) que verifica: a+(-a)=a-a=vector nulo

19. DIRECCION DE UN VECTOR

19.1. La direccion de un vector en el plano se puede obtener a traves de los cosenos directores o razones trigonometricas (seno y coseno). En algebra solo usaremos cosenos directores

20. ANGULOS DIRECTORES

20.1. Los angulos directores de un vector son los angulos qu este forma con los sentidos positivos de los ejes coordenados, alfa y beta (0<=alfa<=pi)(0<=beta<=pi)

21. VECTORES PARELOS

21.1. El producto de un escalar por un vector da un multiplo escalar del mismo al igual que su direccion. SI UN VECTOR ES MULTIPLO DE OTRO, TIENEN LA MISMA DIRECCION, SO PARALELOS. SUS COMPONENETES SON PROPORCIONALES. EL FACTOR DE PROPORCIONALIDAD ES EL ESCALAR "K". SI LA CONSTANTE ES POSITIVA(+) TIENEN EL MISMO SENTIDO, SI ES NEGATIVA TIENEN SENTIDOS OPUESTOS

22. PRODUCTO ESCALR O PUNTO

22.1. DEFINICION: /a/*/b/*cos(a); a*b: a1b1 + a2b2 en r2; a*b: a1b1+a2b2+a3b3 en r3

22.1.1. PROPIEDADES: Conmutativa,distributiba con respecto a la suma de vectores, asociativa mixta, el producto escalar de un vector por si mismo es positivo(+)

22.1.1.1. ANGULOS ENTRE VECTORES: Cos(a)=a*b//a/*/b/[interpretacion geometrica del producto escalar]

22.1.1.1.1. CONDICION GEOMETRICA: {condicion de perpendicularidad} a*b=0 <> vector a es perpendicular al vector b