Programación lineal con dos variables

1. Teorema de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

1.1. Condiciones

1.1.1. Condición de Factibilidad Dual: Multiplicadores de Lagrange deben ser no negativos.

1.1.2. Condición de Estacionaridad: ∇L(x,y,λ)=0

1.1.3. Condiciones Primal-Dual: 𝑔(x,y)≤0 𝜆≥0 𝜆𝑖gi(x,y)=0 (Condición de complementaridad)

1.1.4. Condición de Factibilidad Primal: Restricciones del problema primal.

1.2. Conceptos Básicos

1.2.1. Variables: -Primal: x,y -Dual: Multiplicadores de Lagrange (λ)

1.2.2. Conjunto de condiciones necesarias (y a veces suficientes) para la óptima de un problema de optimización no lineal con restricciones.

1.3. Aplicación a Programación Lineal con 2 variables

1.3.1. Identificación de la Función Lagrangiana: L(x,y,λ)=Z+∑λi(restricciones)

1.3.2. Resolución de las Ecuaciones KKT: -Derivadas parciales de L igualadas a cero. -Verificación de las condiciones primal y dual.

2. Conceptos Básicos

2.1. Optimización de una función lineal sujeta a restricciones lineales.

2.2. Variables: x e y

3. Restricciones

3.1. Forma General: 𝐴𝑥+𝐵𝑦≤𝐶 𝐷𝑥+𝐸𝑦≥𝐹

3.2. Restricciones de No Negatividad: 𝑥≥0 𝑦≥0

4. Metodos de resolución

4.1. Método Gráfico: -Representación gráfica de las restricciones. -Identificación de la región factible. -Evaluación de los vértices de la región factible.

4.2. Método Simplex: Adaptado para problemas más complejos.

5. Soluciones

5.1. Puntos Factibles: Soluciones que satisfacen todas las restricciones.

5.2. Puntos Óptimos: Soluciones que maximizan o minimizan la función objetivo

6. Función

6.1. Maximización: 𝑍=𝑎𝑥+𝑏𝑦

6.2. Minimización: 𝑍=𝑎𝑥+𝑏 𝑦