1. Intervienen sólo leyes de composición interna
1.1. Ley de composición interna
1.1.1. Asociatividad
1.1.2. Distributividad
1.1.3. Elemento neutro
1.1.4. Conmutatividad
1.1.5. Elemento inverso
1.2. Interviene una sola ley:
1.2.1. Magmas
1.2.2. Semigrupos
1.2.2.1. * asociativa
1.2.2.2. Monoide
1.2.2.2.1. Elemento neutro
1.2.3. Grupos
1.2.3.1. * conmutativo
1.2.3.1.1. Grupo abeliano
1.2.3.2. G es un conjunto
1.2.3.3. ∗ es ley de composición interna en G tal que
1.2.3.3.1. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; ∀ a; b; c ∈ G.
1.2.3.3.2. Existe e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a; ∀ a ∈ G.
1.2.3.3.3. Si a ∈ G entonces existe ā ∈ G tal que a ∗ ā = ā ∗ a = e.
1.2.4. Cuasigrupos
1.3. Intervienen dos leyes
1.3.1. Anillos
1.3.1.1. (A, +) es grupo conmutativo (grupo abeliano
1.3.1.2. · es ley de composición interna en A
1.3.1.3. · es asociativa
1.3.1.4. · es distributiva respecto de +
1.3.2. Dominio de integridad
1.3.2.1. (A, +, ·) un anillo; si a b ∈ A son no nulos tal que a · b = 0 con 0 el neutro para + entonces, a y b se llaman divisores del cero.
1.3.3. Cuerpos o campos
1.3.3.1. (A, +, · ) es anillo conmutativo con unidad 1
1.3.3.2. ∀ a ∈ A − {0} ∃ a⁻¹ ∈ A tal que a · a⁻¹ = 1.
1.3.4. Módulos
1.3.4.1. Un módulo M es a un anillo R lo que un espacio vectorial es a un cuerpo
1.3.4.1.1. Suma
1.3.4.1.2. Resta
1.3.4.1.3. Producto por escalares de R
1.3.5. Espacios vectoriales
1.3.5.1. Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vacío y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente.
1.3.5.2. Propiedades, denotado como: +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv
1.3.5.2.1. u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
1.3.5.2.2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa)
1.3.5.2.3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro)
1.3.5.2.4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto)
1.3.5.2.5. λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa)
1.3.5.2.6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva)
1.3.5.2.7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
1.3.5.3. Diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares.
1.3.6. Álgebras asociativas
1.3.6.1. Estructura algebraica que se utiliza en álgebra abstracta y que se define como un espacio vectorial con una multiplicación vectorial que tiene propiedades:
1.3.6.1.1. Asociatividad
1.3.6.1.2. Bilinealidad
1.3.7. Álgebras de Lie
1.3.7.1. Sea k un cuerpo. Decimos que L es un álgebra de Lie sobre k si es un k-espacio vectorial y admite un producto (bilineal), llamado corchete de Lie [ , ] : L × L → L (x, y) 7→ [x, y]
1.3.7.1.1. [x, x] = 0, ∀x ∈ L.
1.3.7.1.2. [x, [y, z]] +[y, [z, x]] +[z, [x, y]] = 0, ∀x, y ∈ L. Esta propiedad se conoce como condición de Jacobi.
1.3.7.1.3. Un álgebra de Lie se dice abeliana si ∀x, y ∈ L se tiene que el corchete de Lie [x, y] = 0.
1.3.8. Retículos
1.3.8.1. Estructura algebraica con dos operaciones binarias o un conjunto parcialmente ordenado con propiedades específicas
1.3.8.1.1. Asociatividad
1.3.8.1.2. Conmutatividad
1.3.8.1.3. Idempotencia
1.3.9. Álgebras de Boole
1.3.9.1. es un conjunto A con dos leyes de composición interna, que denotaremos por + y ·, y llamaremos suma y producto
1.3.9.1.1. Conmutativa
1.3.9.1.2. Distributividad
1.3.9.1.3. Elementos 0 y 1
1.3.9.1.4. Para todo a∈A, existe un a'∈A, llamado complementario de a