Teoremas de límites y la determinación de continuidad de una función

1. Para determinar la continuidad de una función algebraica, debemos verificar 3 condiciones:

2. 1.-La función debe estardefinida en el punto: Esto significa que el valor de la función debe existir en el punto de consideración.

3. 2.- El valor de la función debe ser igual al límite en el punto: El valor de la función en el punto debe ser igual al límite de la función cuando x tiende al punto.

4. 3.- El límite de la función debe existir en el punto: el límite de la función cuando x tiende al punto en consideración debe existir y ser infinito.

5. Teorema 1 Sí el límite existe, entonces es único. Sea S un conjunto de números y sea T un subconjuntos de S. Sea f(x) una función definida para cada elemento del conjunto S, si: lim f(X)=L (con respecto a S) x->a lim f(X)=M (con respecto a T) x->a Entonces L=M. En otras palabras el límite es único.

6. Teorema 2 Límite de una función constante Sea c una constante cualesquiera, entonces lim(c) =c x->a Ejemplo lim5 lim5=5 x->2 x->2

7. Teorema 3 Límite de una función de identidad es decir cuando x vale 1 y vale 1, cuando x vale 3 y vale 3 etc. Recordando que una función de identidad es f(x)=x, entonces lim x = a x->a Ejemplo lim x lim x = -3 x-> -3 x-> -3

8. Teorema 7

9. Teorema 6 Límite de una n-ésima potencia Sea limf(X)=L y n es cualquier número entero positivo: lim[f(X)]^n=L^n x->a El límite de una función f(X) elevada a la n(^2,^3,^4 etc.) es equivalente a L elevando a la misma potencia. Ejemplo lim (3x)^2 x->4 lim(3x)^2 = (12)^2 = 144 x->4

10. Teorema 9 El límite de una función compuesta si f y g son funciones tales que: lim g(x)=L y limf(x)=f(L) x->a x->L lim f[g(x)]= f(L) x->a

11. Teorema 8 Límote de una función que contiene un radical. Si x->a y n es un entero positivo inpar entonces: lim x(1/n) = a(1/n) x->a

12. Teorema 7 Límite del cociente de funciones Sea lim f(X)=L y lim g(X)=M entonces x->a x->a lim (f(x)/g(X))=L/m si M no sea igual a 0 El límite del cociente de las dos funciones involucradas cuando x tiende a a es simplemente equivalente a dividir los resultados de sus límites individualmente atendiendo que el valor de M no puede ser 0 para no generar una indeterminación. Ejemplo lim x+2 / 3x x->1 lim x+2/3x= limx+2/lim3x = 3/3 =1 x->1 x->1 x->1

13. Teorema 4 límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones,supongase que: lim f(x)=L1 y lim g(x)=l2 x->a x->a lim[f(x)+g(x)]=L1}L2 x->a lim[f(x)-g(x)]=L1-L2 x->a lim[f(x)*g(x)]=L1*L2 x->a lim[f(x)/g(x)]=L1/L2 x_>a Si L no es igual a 0

14. Teorema 5 Límite del producto de funciones Sea lim f(X)=L lim g(X)=M x->a x->a lim[f(X) x g(X)]=LxM x->a El límite de la mutiplicación de las dos funciones involucradas cuando x tiene a a es simplemente equivalente a multiplicar los resultados de sus límites evaluados individualmente Ejemplo lim(4x^2) x->3 lim 4 x lim x^2 = 4 x 9 = 36 x->3 x->3