1. Conjuntos
1.1. Es la colección de objetos llamados elementos que tiene la propiedad de que dado un objeto cualquiera se puede decir si ese objeto es un elemento del conjunto o no
1.1.1. El orden de los elementos no importa en un conjunto y en los conjuntos no se tiene en cuenta la repetición de los elementos
1.1.2. ejemplos:
1.1.2.1. El conjunto de los números naturales
1.1.2.2. El conjunto de los números enteros
1.1.2.3. El conjunto de los números racionales
1.1.3. Tipos de conjuntos
1.1.3.1. Conjunto cardinal sea A se llama cardinal de A a la cantidad de elementos distintos que tiene A y se representa gráficamente por los diagramas de Venn
1.1.3.2. Subconjuntos o inclusión sea A un se dice que es subconjunto B esta contenido en A y se nota B ⊆ A
1.1.3.3. Igualdad de conjuntos se dice que hay una igualdad de conjuntos si tienen exactamente los mismos elementos A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.
1.1.3.4. Conjunto de partes es el conjunto que esta formado por todos los subconjuntos P(A) = {B : B ⊆ A} o tambi´en B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A.
1.1.4. Operaciones entre conjuntos
1.1.4.1. complemento A = {b ∈ U : b /∈ A}, o también ∀ b ∈ U, b ∈ A ′ ⇐⇒ b /∈ A. ejemplo: • Si U = N y A = {2}, entonces A′ = {n ∈ N, n ̸= 2}. O sea el complemento de un conjunto depende del conjunto referencial U.
1.1.4.2. Unión es la union que hay entre dos conjuntos y su formula matematica es dados dos conjuntos A y B su formula se expresa A U B
1.1.4.3. Intersección es lo que resulta al operar dos conjuntos y contiene los elementos comunes de los dos conjuntos se expresa matemáticamente A∩B
1.1.4.4. Diferencia se da al operar dos conjuntos dados el conjunto A y el conjunto B y tiene como resultado los elementos diferentes entre conjuntos A y B se expresa matemáticamente A - B
2. cónicas
2.1. se denomina cónica a todas las intersecciones que se generan entre un cono y un plano y se clasifican de la siguiente forma
2.1.1. Elipse
2.1.1.1. se crea un circulo de centro C y un punto S en el interior del circulo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas rectas envuelve a un elipse. Cuanto mas cerca este S de C, mas parecida a una circunferencia ser´a la elipse obtenida (menor ser´a su excentricidad)
2.1.2. parábola
2.1.2.1. Se dibuja una recta cualquiera ´ L y un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. Una cantidad suficiente de rectas as´ı construidas envuelven a una par´abola con foco en el punto S.
2.1.3. Hipérbola
2.1.3.1. Se dibuja un cırculo de centro ´ C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hipérbola. Las perpendiculares CA y CB a las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por S son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola se acerca en el infinito.
2.1.4. circunferencia
2.2. Aplicaciones en la vida real de las cónicas
2.2.1. en la construcción de radares
2.2.2. Antenas parabólicas
2.2.3. Espejos
2.2.4. Lentes telescópicas
2.2.5. Los cables de los puentes colgantes tienen forma de parábola
2.2.6. La trayectoria de un proyectil tiene forma parabólica
2.2.7. Las orbitas de los planetas al rededor del sol tienen forma de elipse
2.2.8. En la óptica para la propagación de las ondas se utilizan lentes elípticas.
3. Función
3.1. Es una ley que relaciona una o mas variables independientes con otra variable dependiente de forma univoca y se vasa en relacionar elementos de dos conjuntos
3.1.1. como se expresan
3.1.1.1. por lo general las funciones son numéricas
3.1.1.1.1. requieren que todo elemento de X se relacione con un elemento de Y y normalmente se representan en una tabla de valores
3.1.1.1.2. De forma explicita
3.1.1.1.3. De forma implícita
3.1.2. Tipos de funciones
3.1.2.1. función lineal su formula matemática es y=mn y su representación en el plano cartesiano es una linea recta
3.1.2.2. función cuadrática su formula matemática es de la forma f(x)=〖ax〗^2+bx+cv son funciones polinómicas es de segundo grado y su representación grafica es una parábola
3.1.2.3. Funciones exponenciales su representación matemática es de tipo f(x)=a^2
3.1.2.4. función identidad es aquella donde la variable independiente tiene el mismo valor de la variable dependiente su formula matemática es de la forma f(x)=x
3.1.2.5. funciones algebraicas se obtienen a partir de operaciones matemáticas como son la suma la resta y producto las funciones contantes e identidad. su dominio son todos los números reales
3.1.3. Como se define una función se puede describir de forma verbal o de algebraica
3.1.4. propiedades de las funciones
3.1.4.1. Inyectiva es inyectiva cuando a diferentes elementos del dominio le corresponde distintos elementos del condominio y viceversa también se conoce como función uno a uno su función matemática es f(xa)=f(xb) entonces xa=xb
3.1.4.2. Suprayectiva se cumple cuando cualquier elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio su formula matemática es ⍱y ∈ de codom f,Ǝx∈domf /f(x)=y
3.1.4.3. Biyectiva una función cumple con esta propiedad si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva
3.1.5. Modelado de funciones se utiliza para describir desde un punto de vista matemático un fenómeno con el fin de que sea atendido a la hora de abordarlo.
3.1.5.1. Para obtener un buen modelado de funciones se debe establecer ciertos requerimientos.
3.1.5.1.1. Identificar claramente el problema y la funcion buscada
3.1.5.1.2. Identificar las características claras a modelar de la funcion.
3.1.5.1.3. Extraer los datos principales y establecer formulas que sean conocidas.
3.1.5.1.4. Expresar todas las variables en términos algebraicos y expresar el comportamiento de función.
4. relación
4.1. Es un vinculo o una correspondencia que existe entre dos conjuntos a cada elemento de primer conjunto le corresponde al menos un elemento de segundo conjunto llamado recorrido a rango
4.1.1. Sean A y B conjuntos un subconjunto R , A y B se llaman una relación es decir R es una relación de A en B si R ∈ P(A x P)
4.1.2. Representaciones graficas de las relaciones normalmente están representadas mediante el plano cartesiano y obtiene de la relación que hay entre un punto A con un punto B
4.1.2.1. Relación reflexiva cumple esta propiedad si en cada vértice hay una flecha que es un buque es decir que parte de el y llega el si (a,a) ∊R,⍱ a ∊A
4.1.2.2. Simétrica si cada vez que un par (a,b) ∊R entonces el par (a,b) ∊R (⍱a,b ∊A,aR b⟹b Ra)la relación es simétrica si por cada flecha que une dos vértices en un sentido hay flecha en el sentido opuesto
4.1.2.3. Relación transitiva se cumple con esta propiedad de la relaciones si todos los elemento de los conjuntos están relacionados entre si a,b, c ∊A tales que (a,b) ∊R y (b,c) ∊R se tiene que (a,c) ∊ R