LA ELIPSE

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LA ELIPSE por Mind Map: LA ELIPSE

1. DEFINICIÓN

1.1. Se llama ELIPSE, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos.

2. RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES

2.1. ...

2.2. ...

3. ELEMENTOS

3.1. ....

3.1.1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.

3.1.2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3.1.3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

3.1.4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

3.1.5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

3.1.6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

3.1.7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

3.1.8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

3.1.9. Eje menor:Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

3.1.10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

3.1.11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

4. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE

4.1. La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

4.1.1. c=0, b=0, e=0

4.1.2. e=3/5

4.1.3. e=4/5

4.1.4. c=a, b=0, e=1

5. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE

5.1. Ecuación reducida de la elipse

5.1.1. Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)

5.1.2. Cualquier punto de la elipse cumple:

5.1.2.1. ...

5.1.3. Esta expresión da lugar a:

5.1.4. Realizando las operaciones llegamos a:

5.2. Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

5.2.1. Si el eje principal está en el de ordenadas

5.2.2. se obtiene la siguiente ecuación

5.2.3. Las coordenadas de los focos son: F'(0, -c) y F(o, c)

6. ECUACIÓN DE LA ELIPSE

6.1. Ecuación de la elipse de eje vertical

6.1.1. Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y+c) y F'(x0, y0−c). Y la ecuación de la elipse será:

6.1.2. Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

6.1.3. Donde A y B tienen el mismo signo.

6.2. Ecuación de la elipse

6.2.1. Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

6.2.2. Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

6.2.3. Donde A y B tienen el mismo signo.