Matemáticas I Análisis de una función gráfica Dr. Jesús Rogelio Pérez Buendía
1. Encontrar el dominio de la función
1.1. Si el dominio está dado, identificar los intervalos que conforman al dominio.
1.1.1. Si la función es un modelo de una aplicación. El dominio queda determinado por las condiciones del problema y por las restricciones que el modelo impone.
1.2. Si el dominio no está dado, entonces es el subconjunto más grande de los reales en donde la función tiene sentido.
2. Continuidad
2.1. Los intervalos donde la función es continua (encontrar los puntos de discontinuidad)
2.1.1. Una función es continua en un punto ¨a¨ en su dominio si: 1. ¨f(a)¨ existe. 2. El límite cuando ¨x¨ tiende a "a" existe: a) Los límites laterales existen b) los límites laterales son iguales. 3. El valor del límite coincide con el valor de la función.
2.1.2. Hay tres tipos de discontinuidad: 1) Discontinuidad de salto: si los límites laterales son distintos, pero existen. 2) Removible: Si el límite existe. 3) Esencial: cuando alguno de los límites laterales no existe.
3. Asíntotas
3.1. Verticales
3.1.1. Se encuentran entre los puntos donde la función no está definida.
3.1.1.1. La recta "x=a" es una asíntota vertical si: el ( lim x --> a f(x) ) = infinito o - infinito cuando el límite se calcula por la derecha o por la izquierda de "a".
3.1.1.1.1. Si estoy trabajando con una función racional: f(x)/g(x) tendré asíntotas verticales en los ceros del denominador (de g(x)) que no son ceros del numerador (f(x)).
3.2. Horizontales
3.2.1. "y=c" es una asíntota horizontal si: El "lim x-->(infinito) f(x) = c" o "lim x--> (-infinito) f(x) = c"
4. Estudiar la diferenciabilidad de la función
4.1. La primera derivada
4.1.1. Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función: "f'(x) = lim_(h --> 0) ( f(x+h) - f(x) ) / h"
4.1.1.1. Usar las fórmulas para calcular las derivadas
4.1.1.1.1. 1. Regla del producto (Leibinitz) 2. La regla cociente (Leibinitz) 3. Regla de la cadena 3. Regla de las potencias 4. Derivación logarítmica 5. De funciones exponenciales 6. Implícita
4.1.2. Los puntos críticos: ceros de la primera derivada o donde la derivada no existe.
4.1.2.1. Geométricamente: Los puntos críticos son puntos en donde la recta tangente es horizontal o donde la recta tangente no existe (picos o recta tangente vertical)
4.1.2.2. Los máximos o mínimos locales se encuentran entre los puntos críticos.
4.1.2.3. Estudiar los intervalos donde la función es creciente: si la derivada es positiva. Estudiar los intervalos donde la función es decreciente: la derivada es negativa. Hacer la tabla con los intervalos que determinan los puntos críticos y evaluar en la primera derivada para determinar si en estos intervalos la función es creciente/decreciente.
4.1.2.3.1. El criterio de la primera derivada: Tengo un mínimo local en "a" si la función es decreciente antes de "a" y creciente después de "a" Tengo un máximo local en "a" si la función es creciente antes de "a" y decreciente después de "a"
4.2. Derivadas de orden superior
4.2.1. La segunda derivada: es la derivada de la primera derivada.
4.2.1.1. Los intervalos de concavidad
4.2.1.1.1. La función es cóncava arriba si: "f''(x) > 0"
4.2.1.1.2. La función es cóncava abajo si: "f''(x)<0"
4.2.1.2. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos locales: Si "a" es un punto crítico y: 1. "f''(a) >0" entonces "a" es un mínimo local. 2. Si "f''(a) < 0" es un máximo local.
4.2.1.3. Encontrar los puntos de inflexión
4.2.1.3.1. Puntos donde la función es continua y hay una cambio de concavidad. Hacer tabla mostrando los intervalos determinados por los puntos de inflexión o donde la segunda derivada no existe, y evaluar en la segunda derivada para determinar la concavidad.